CG Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 ज्यामितीय आकृतियों में समरूपता are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 ज्यामितीय आकृतियों में समरूपता
करके देखें:-
Page No.:243
प्रश्न 1. 12 सेमी. लंबे एक रेखाखंड को 36 सेमी. लम्बा रेखाखण्ड बनाने के लिए स्केल गुणक क्या होगा ? इसी तरह 12 सेमी. के रेखाखण्ड की लम्बाई को 6 सेमी. करना हो तो स्केल गुणक क्या होना चाहिए ? उत्तर- रेखाखण्ड की लम्बाई = 12 सेमी.
36 = 12 x 3
∴ 36 सेमी. लम्बा बनाने के लिए स्केल गुणक 3 होगा I
इसी तरह 6 = 12 x 12
अतः 12 सेमी. लम्बे रेखाखण्ड को 6 सेमी. करने के लिए स्केल गुणक 12 होगा I उत्तर
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सोचे एवं चर्चा करें –
प्रश्न 1. (i) आपको अपनी किताब में बने भारत के नक़्शे (20 सेमी. x 20 सेमी. ) को दीवार ( 3 मी. x 2 मी. ) पर बनाना है I क्या आप स्केल गुणक 1 मी. = 12 सेमी. लेकर यह बना सकते हैं ?
(ii) यदि नहीं तो क्यों ?
(iii) स्केल गुणक अधिकतम कितना लिया जाए ताकि नक्शा 6 मी. x 4 मी. दीवार पर बनाया जा सके ?
हल – (i) नहीं I
(ii) किताब में बना नक्शा 20 सेमी. x 20 सेमी. का है I 1 मी. = 12 सेमी. लेने पर ; चूँकि 12 20 का गुणनखण्ड नहीं है I अतः इसे वांछित स्केल गुणक में नहीं लिया जा सकता I
(iii) दीवार का क्षेत्रफल = 6 मी. x 4 मी.
= 600 सेमी. x 400 सेमी.
अब चूँकि नक्शा 20 सेमी. x 20 सेमी. का है I
∴ 20 x 20 = 400 सेमी.
अतः स्केल गुणक 20 लेने पर नक्शा 400 सेमी. x 400 सेमी. की नाप का हो जाएगा जिसे 600 सेमी. x 400 सेमी. की दीवार पर आसानी से बनाया जा सकेगा I उत्तर
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प्रश्न 1. खेत के नक्शे को 1 सेमी: 10 मी. स्केल किया गया है I नक़्शे में खेत का माप 3 सेमी. x 4 सेमी. है। खेत का वास्तविक क्षेत्रफल वर्गमीटर में ज्ञात कीजिए?
हल: दिया है: पैमाना 1 सेमी = 10 मीटर
नक्शे में खेत की माप = 3 सेमी x 4 सेमी
∴ खेत का वास्तविक क्षेत्रफल = (3 x 10 मी.) x (4 x 10 मीटर)
= 30 मीटर x 40 मीटर
= 30 x 40 वर्ग मीटर
= 1200 वर्ग मीटर I उत्तर
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प्रश्न 2. आपके पास 3600 वर्ग सेमी क्षेत्रफल की वर्गाकार पेंटिंग है। स्केल गुणक 0.1 लेते हुए पेटिंग को स्केल करें। स्केलिंग करने के बाद भुजा का माप ज्ञात कीजिए ?
हल: दिया है: पेंटिंग का आकार वर्गाकार है I और पेंटिंग का क्षेत्रफल = 3600 वर्ग सेमी
स्केल गुणक = 0.1 है।
∵ स्केल गुणक 1 से कम है अतः आकार को छोटा करना है।
∴ पेंटिंग का क्षेत्रफल = 3600 वर्ग सेमी
= 60 सेमी x 60 सेमी
स्केलिंग करने पर पेंटिंग का क्षेत्रफल
= (60 x 0.1 सेमी) x (60 x 0.1 सेमी)
= 6.0 सेमी x 6.0 सेमी
स्पष्ट है कि स्केलिंग के बाद आयकताकार पेंटिंग की भुजा की माप = 6 सेमी। उत्तर
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प्रश्न 3. किसी शहर के नक्शे में रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट (हवाई अड्डा) की दूरी 3 सेमी है। यदि नक्शे का पैमाना 2 सेमी :7 किमी है तो रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट की वास्तविक दूरी किमी में क्या होगी ? हल दिया है: रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट की दूरी = 3 सेमी
∵ पैमाना : 2 सेमी = 7 किमी
∴ स्केल का गुणक = 72 होगा I
अतः रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट की दूरी
= 3 x 72 किमी
= 212 किमी = 10.5 किमी I उत्तर
सोचे एवं चर्चा करें –
Page No.:244
प्रश्न 1. क्या सभी वर्ग समरूप होते है? उत्तर- हाँ क्योंकि वे समकोणीय होते हैं I (AA समरूपता)
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प्रश्न 2. क्या सभी वृत्त समरूप होते हैं ? उत्तर – हाँ क्योंकि सभी वृतों को मात्र उनकी त्रिज्याओं को घटाकर या बढ़ाकर एक – दूसरे के बराबर किया जा सकता है I
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प्रश्न 1. एक वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या 52 मीटर है। इस मैदान का नक्शा कागज पर बनाइए जिसमें पैमाना 13 मीटर : 1 सेमी हो I नक्शे में मैदान की त्रिज्या क्या होगी ?
हल:- दिया है: मैदान की त्रिज्या r = 52 मीटर
∵ पैमाना : 13 मीटर : 1 सेमी
स्केल गुणक = 113
अतः मैदान की त्रिज्या = 52 x 113 = 4 सेमी I उत्तर
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प्रश्न 2. किसी आयत की दो आसन्न भुजाओं का माप क्रमश: 5 सेमी और 7.5 सेमी है। निम्न स्केल गुणक मानते हुए नए आयतों की भुजाओं का माप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) 0.8 (ii) 1.2 (iii) 1.0.
स्केल गुणक ‘1’ मानने पर मिला आयत क्या वास्तविक आयत के सर्वांगसम है ?
हल: दिया है: आयत की आसन्न भुजाएँ
लम्बाई = 5 सेमी
चौड़ाई = 7.5 सेमी।
(i) स्केल गुणक = 0.8 लेने पर
लम्बाई = 5 x 0.8 = 4.0 सेमी
चौड़ाई = 7.5 x 0.8 = 6.00 सेमी।
(ii) स्केल गुणक = 1.2 लेने पर
लम्बाई = 5 x 1.2 = 6.0 सेमी
चौड़ाई = 7.5 x 1.2 = 9.00 सेमी।
(iii) स्केल गुणक 1.0 लेने पर
लम्बाई = 5 x 1.0 = 5 सेमी
चौड़ाई = 7.5 × 1.0 = 7.5 सेमी।
स्पष्ट है कि स्केल गुणक 1.0 लेने पर लम्बाई एवं चौड़ाई का माप नहीं बदलता है।
अतः इस माप का आयत वास्तविक आयत के सर्वांगसम होगा।
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प्रश्न 3. आकृति में MN II ST तब निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए –
(i) TNNR (ii) TRNR (iii) TNRT .
हल: दिया है: MN II ST
RM = 6 MS = 3
∵ MN II ST
∴ RMMS = RNNT
63 = RNNT
∴ RNNT = 21
(i) NTRN = 12 उत्तर
(ii) TRNR = SRMR
= SM + MRMR = 3 + 66
= 96 = 32 उत्तर
(iii) TNRT = SMSR = SMSM + MR
= 33 + 6 = 39 = 13 उत्तर
Page No.:250
प्रश्न 4. आधारभूत समानुपातिक प्रमेय (Basic proportionality theorem) का उपयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। हल: दिया है: ABC में बिंदु D AB का मध्य बिंदु है तथा DE II BC
सिद्ध करना है : E AC का मध्य बिंदु है I
उपपत्ति : ∵ बिंदु D AB का मध्य बिंदु है I
∴ AD = DB
ADDB = 11 ………..(1)
अब ∵ DE || BC
∴ ADDB = AEEC
(आधारभूत आनुपातिकता का प्रमेय से)
11 = AEEC [समी. 1 से ]
AE = EC
∴ E AC का मध्य बिंदु है I सिद्ध हुआ I
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प्रश्न 5. आकृति में DF || AE और DE || AC है। सिद्ध कीजिए कि BFFE = BEEC है I
हल: दिया है:- ABC में DF || AE DE || AC
सिद्ध करना है : BFFE = BEEC
उपपत्ति: ∵ ABC में DF || AE (दिया है)
∴ BDDA = BFFE ……..(1)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
इसी प्रकार ABC में DE || AC
∴ BDDA = BFEC ………..(2)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
समीकरण (1) व (2) से
BFEF = BEEC सिद्ध हुआ।
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प्रश्न 6. किसी PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिन्दु E और F स्थित है। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या EF || QR है-
(i) PE = 3.9 सेमी EQ = 3 सेमी PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी।
(ii) PE = 4 सेमी QE = 4.5 सेमी PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी।
(iii) PQ = 1.28 सेमी PR= 2.56 सेमी PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी।
हल:
(i) ∵ PE = 3.9 सेमी EQ = 3 सेमी PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी।
∴ PEEQ = 3.93 = 1.3
तथा PFFR = 3.92.4 = 32 = 1.5
∵ PEEQ PFFR
अतः EF QR अर्थात् नहीं I उत्तर
(ii) PE = 4 सेमी QE= 4.5 सेमी. PF = 8 सेमी RF = 9 सेमी।
∴ PEQE = 44.5
= 4045 = 89
PFRF = 89
स्पष्ट है कि PEQE = PFRF अत: EF || QR होगा। उत्तर
(iii) PQ = 1.28 सेमी PR = 2.56 सेमी PE= 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी।
अतः EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.10
∴ PEEQ = 0.181.10 = 18110 = 955
तथा FR = PR – PF = 2.56 – 0.36
= 2.20
PEEQ = 0.362.20
= 36220
= 955
स्पष्ट है कि PEEQ = PFFR
∴ EF || QR होगा। उत्तर
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प्रश्न 7. आकृति में DE || OQ और DF || OR है दर्शाइये कि EF || QR है।
हल: दिया है: PQR में DE || OQ DF || OR
सिद्ध करना है: EF || QR
∵ OPQ में
DE || OQ
∴ PDDO = PEEQ ……..(1)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
इसी प्रकार OPR में
DF || OR
∴ PDDO = PFFR ……….(2)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
समी. (1) व (2) से
PEEQ = PFFR
∴ EF || QR
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से) सिद्ध हुआ।
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प्रश्न 8. चित्र में OP OQ और OR पर क्रमशः तीन बिंदु A B और C इस प्रकार स्थित है कि AB || PQ और AC || PR है I दर्शाइये कि BC || QR है I
हल: दिया है: चित्र में बिन्दु A B C क्रमश: OP OQ व OR में स्थित है।
और AB || PQ तथा AC || PR
सिद्ध करना है: BC || QR
∵ AB || PQ
∴ OAAP = OBBQ ………(1)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
इसी प्रकार
∵ AC || PR
∴ OAAP = OCCR ………(2)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
समी. (1) व (2) से
OBBQ = OCCR
∴ OQR में आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से
BC || QR सिद्ध हुआ I
करके देखें –
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प्रश्न 1. क्या दिए गए चतुर्भुज समरूप है ? कारण सहित लिखिए –
(i) ABCD और EFGH
उत्तर – नहीं क्योंकि दोनों चतुर्भुज में संगत भुजाओं का अनुपात एकसमान नहीं है I
(ii) ABCD और JKLM उत्तर- हाँ क्योंकि दोनों चतुर्भुजों के संगत कोण बराबर ( 90°) हैं तथा संगत भुजाएँ समानुपाती हैं I
(iii) ABCD और NOPQ उत्तर- नहीं क्योंकि चतुर्भुज ABCD का ∠A = 90° है जबकि उसका संगत कोण ( चतुर्भुज NOPQ में) ∠N = 88° है I
(iv) JKLM और NOPQ उत्तर- नहीं क्योंकि संगत कोण बराबर नहीं है I (90° तथा 88°)
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प्रश्न 2. क्या EFGH और JKLM समरूप हैं ? कारण बताइए I उत्तर- नहीं क्योंकि संगत भुजाएँ समानुपाती नहीं हैं I
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प्रश्न 3. EFGH के समरूप एक चतुर्भुज बनाइए I उत्तर –
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प्रश्न 1. क्या सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम भी होती हैं ? कारण सहित समझाइए।
उत्तर – सभी समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है। क्योंकि सर्वांगसम आकृतियों में संगत कोणों और संगत भुजाओं दोनों का बराबर होना आवश्यक है जबकि समरूप आकृतियों में संगत भुजाओं का बराबर होना आवश्यक नहीं है केवल उनका अनुपात बराबर होना चाहिए। उदाहरण के लिए दुनिया के सभी वर्ग समरूप होते हैं पर वे सर्वांगसम भी हों आवश्यक नहीं है।
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1. दिए गए चित्र में बहुभुज समरूप है तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए I
(i) OP
(ii) EA
(iii) m ∠ OPL
(iv) m ∠ LMN
(v) बहुभुज DEABC ~ ?
(vi) बहुभुज BCDEA ~ बहुभुज NOPLM कथन ठीक नहीं लिखा है I इसे ठीक करके लिखे I
हल: दिया है: ☐ OPLMN ~ ☐ DEABC
∵ समरूप बहुभुज की समरूप भुजाओं का अनुपात समान होगा I
∴ OPDE = PLEA = LMAB = MNBC = ONDC
(i) ∴ OPDE = PLEA = LMAB
OP3.4 = 2EA = 36
OP3.4 = 12
∴ OP = 12 x 3.4 = 1.7
(ii) तथा 2EA = 12
∴ EA = 2 x 2 = 4
(iii) ∵ ∠ OPL = ∠ DEA
(समरूप बहुभुज के संगत कोण बराबर होते है)
∴ m ∠ OPL = m ∠ DEA
m ∠ OPL = 110° उत्तर
(iv) ∠ LMN = ∠ ABC
(समरूप पंचभुज के संगत कोण हैं)
m∠ LMN = m ∠ ABC
m∠ LMN = 90° (∵ m ∠ ABC =90° ) उत्तर
(v) बहुभुज DEABC ~ बहुभुज OPLMN उत्तर
(vi) बहुभुज BCDEA ~ बहुभुज MNOPL उत्तर
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प्रश्न 2. चित्र (i) के त्रिभुज और (ii) के समांतर चतुर्भुज समरूप है तो x और y का मान ज्ञात कीजिए I
हल: चित्र (i) में दिया गया त्रिभुज समरूप है अतः इनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा।
चित्रानुसार – ABPQ = BCQR = ACPR
∴ 6x – 2 = 8y + 3 = 1015
6x – 2 = 8y + 3 = 23
∴ 6x – 2 = 23
2( x-2) = 3 x 6
x- 2 = 3 X 62 = 9
x = 9 + 2 = 11
तथा 8y + 3 = 23
2 x (y + 3) = 3 x 8
y + 3 = 3 X 8 2
y + 3 = 12
y = 12 – 3
y = 9
अतः x = 11
y = 9. उत्तर
चित्र (ii) में दिया गया चतुर्भुज समरूप है अतः इनकी संगत भुजाओं का अनुपात भी समान होगा I
चित्रानुसार नामकरण करने पर
ABPQ = BDQR = CDSR = ACPS
x + 215 = 8QR = CDSR = AC12
उपरोक्त से
8QR = AC12
यह अनुपात बराबर तब होगा जब AC = 8 तथा QR = 12 हो I
∴ ACQR = 812 = 23
∴ x + 215 = 23
x+2 = 23 x 15 = 10
x = 10 – 2
x = 8
तथा ∠ B = 70° (संगत कोण है)
परन्तु y + ∠ B = 180°
y + 70° = 180°
y = 180° – 70°
अतः x = 8 y = 110°. उत्तर
Page No.:255
प्रश्न 3. नीचे दिए गए प्रत्येक चित्र के दोनों बहुभुज समरूप है तो प्रत्येक में xy और z का मान ज्ञात कीजिए।
हल: चित्र (i) में दोनों चतुर्भुज समरूप है अतः इनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा I
उपरोक्त से
∴ x13 = 14z = 16y = 108
x13 = 108
x = 108 x 13 = 5 X 134 = 654
x = 16.25
∴ z = 810 x 14 = 8 X 75 = 565 = 11.2
तथा y = 810 x 16 = 8 X 85 = 645 = 12.8
अतः x = 16.25 y = 12.8 z = 11.2 उत्तर
चित्र (ii) में दोनों त्रिभुज समरूप है अतः इनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा I
∴ 5x = y73 = 57
5x = 57 तथा y73 = 57
5 x = 5 X 7 y = 57 X 73
x = 5 X 75 y = 53
अतः x = 7 y = 53 उत्तर
चित्र (iii) में दोनों चतुर्भुज समरूप है अतः इनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा I
z27 = y18 = 1815 = x21
z27 = y18 = 65 = x21
∴ z27 = 65 ∴ y18 = 65 तथा x21 = 65
z = 6 X 275 y = 6 X 185 x = 6 X 215
z = 6 x 5.4 y = 6 x 3.36 x = 6 x 4.2
z = 32.4 y = 21.6 x = 25.2
अतः x = 25.2 y = 21.6 z = 32.4 उत्तर
चित्र (iv) में दोनों चतुर्भुज समरूप है अतः इनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा I
∴ y16 = z12 = 610 = x15
∴ x15 = 35
x = 35 x 15 = 9
इसी प्रकार
y16 = 35
y = 35 x 16 = 485 = 9.6
तथा z12 = 35
z = 35 x 12 = 365 = 7.2
अतः x = 9 y = 9.6 z = 7.2 उत्तर
Page No.:255
प्रश्न 4. एक चतुर्भुज की भुजाओं का माप 4 सेमी. 6 सेमी. 6 सेमी. व 8 सेमी. है। दूसरा चतुर्भुज जो पहले चतुर्भुज के समरूप है उसकी भुजाओं का माप 6 सेमी.
9 सेमी. 9 सेमी. और 12 सेमी. है।
(i) स्केल गुणक क्या होगा ? ( दूसरे चतुर्भुज का पहले चतुर्भुज से ) ।
(ii) दोनों चतुर्भुजों का परिमाप ज्ञात कीजिए। (iii) इनके परिमापों का अनुपात क्या है ? (दूसरे चतुर्भुज का पहले चतुर्भुज से)।
हल:
माना ロ ABCD ~ ロ PQRS
दिया है : AB = 4 सेमी BC= 6 सेमी CD = 6 सेमी DA = 8 सेमी I
तथा PQ = 6 सेमी QR = 9 सेमी RS = 9 सेमी SP =12 सेमी. I
(i) स्केल गुणक = दूसरे चतुर्भुज का पहले चतुर्भुज से
= PQAB = 64 = 32 = 1.5 उत्तर
(ii) ロ ABCD का परिमाप
= AB + BC + CD + DA
= 4 + 6 + 6 + 8
= 24 सेमी
ロ PQRS का परिमाप
= PQ + QR + RS + SP
= 6 + 9 + 9 + 12
= 36 सेमी उत्तर
(iii) ロ PQRS का परिमाप ロ ABCD का परिमाप = 3624 = 32 = 1.5
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प्रश्न 5. निम्नलिखित के लिए उदाहरण दें एवं उनके कारण लिखिए-
(i) यदि दो बहुभुज सर्वांगसम हैं तो वे समरूप होंगे ही।
(ii) यदि दो बहुभुज समरूप हैं तो जरूरी नहीं कि वे सर्वांगसम हो । (iii) ऐसे ही तीन और कथन सोचकर लिखें।
हल :
(i) ABC ≅ PQR हो तब
(a) इनके संगत कोणों का मान बराबर होगा I
∠A = ∠P ∠B = ∠Q ∠C = ∠R
(b) इनकी संगत भुजाओं का माप बराबर होगा I
AB = PQ BC = QR AC = PR
ABPQ = 11 BCQR = 11 ACPR = 11
∴ ABPQ = BCQR = ACPR = 11
स्पष्ट है कि सर्वान्गसम त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात समान होता है I
∴ समरूपता के दोनों शर्तो का पालन हो रहा है I
अतः यदि दो बहुभुज सर्वांगसम है तो वे समरूप होंगे ही I सिद्ध हुआ I
(ii) माना ABC ~ PQR तब
(a) ∠A = ∠P ∠B = ∠Q ∠C = ∠R
(b) ABPQ = BCQR = ACPR
अब समरूपता एवं सर्वांगसमता का प्रथम शर्त एक जैसा ही है कि इनके संगत कोण बराबर होने चाहिए किन्तु समरूपता के दूसरे शर्त में भुजाओं का अनुपात 1: 1 हो तो वे त्रिभुज सर्वांगसम होंगे। किन्तु 1:1 को छोड़ किसी भी अनुपात में भुजाएँ हो तो वे केवल समरूप होंगे।
(iii) उपरोक्त दो कथनों का उपयोग करके अन्य कथन छात्र स्वयं अपने सोच से लिखें।
करके देखें
Page No.:259
प्रश्न 1. इन त्रिभुजों में समरूपता की जाँच कीजिए कि कौनसी कसौटी का उपयोग हुआ I
(i) YXN और XNZ
हल: YXN और XNZ में
∠ XNY = ∠XNZ = 90° [प्रत्येक समकोण]
YXN में XNYN = 1525 = 35
XNZ में NZXN = 915 = 35
∴ XNYN = NZXN
∴ YXN ~ XNZ [SAS समरूपता कसौटी]
(ii) OAB और OKT.
हल: OAB और OKT में
∠ KOT = ∠ AOB [सम्मुख कोण]
OAOK = 912 = 34
OBOT = 68 = 34
∴ OAOK = OBOT
अतः OAB ~ OKT. [SAS समरूपता कसौटी]
(iii) ADC और ACB
हल: ADC और ACB में
ACBC = 2436 = 23
ADAB = 2030 = 23
तथा CDAC = 1624 = 23
∵ ACBC = ADAB = CDAC = 23
अतः ADC ~ ACB [SSS समरूपता कसौटी]
(iv) CED और PRQ हल: CED में
∠ E = 70°
∠ D = 50°
∴ ∠ C = 180° – (∠ E + ∠ D)
= 180 – ( 70 + 50)
= 180 – 120
= 60°
अब CED और PRQ में
∠ E = ∠ R = 70°
∠ P = ∠ C = 60°
∴ CED ~ PRQ [AA समरूपता कसौटी]
करके देखें
Page No.:261
प्रश्न 1. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25:9 है तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा ? हल: दिए गए समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 25:9
∴ उनकी संगत भुजाओं का अनुपात = 25 : 9
= 5 : 3. उत्तर
Page No.:261
प्रश्न 2. त्रिभुज TFR और त्रिभुज SPM समरूप हैं जिनका स्केल गुणक 7: 4 हैं I इनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा ? हल: TFR ~ SPM
स्केल गुणक = 7: 4
∴ इनकी संगत भुजाओं का अनुपात 7: 4
अतः इनके क्षेत्रफलों का अनुपात = 49 : 16. उत्तर
Page No.:261
प्रश्न 3. PQR ~ XYZ जहाँ PQ = 3XY है I इनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा ? हल : PQR ~ XYZ
अब PQ = 3XY
PQXY = 31
∴ इनके क्षेत्रफलों का अनुपात = 32 : 12 = 9 : 1. उत्तर
Page No.:261
प्रश्न 1. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है । x और y का मान ज्ञात कीजिए।
हल:- ∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB II DC अतः AB II EC
EFFA = FCFB = FCAB (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
x15 = y9 = 616
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
x15 = y9 = 38
x = 38 x 15 तथा y = 38 x 9
x = 458 y = 278
x = 5.62 y = 3.37 उत्तर
Page No.:261
प्रश्न 2. एक समलंब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB II DC है के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो तो त्रिभुज AOB और COD के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए। हल :
दिया है : ロ ABCD समलम्ब चतुर्भुज है जिसमे AB II DC तथा AB = 2 CD (दिया है)
ABCD = 21 ………(1)
OAB तथा OCD में
∠OAB = ∠OCD
(ABIIDC जिसे AC काटती है जिसकी संगत कोण है)
इसी प्रकार ∠OBA = ∠ODC
(ABIIDC जिसे BD काटती है जिसकी संगत कोण है)
∴ OAB ≅ OCD
(को. को. समरूपता है)
OAOC = OBOD = ABCD
(समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ)
∴ क्षेत्रफल ( OAB)क्षेत्रफल ( OCD) = ABCD 2= 21 2= 41
अतः क्षेत्रफल ( OAB) : क्षेत्रफल ( OCD)
= 4 : 1 उत्तर
Page No.:261
प्रश्न 3. चित्र में यदि IV= 36 मीटर VE= 20 मीटर और EB= 15 मीटर दिया है। तो नदी की चौड़ाई (RI) कितनी होगी ?
हल : चित्रानुसार दोनों त्रिभुज समरूप होंगे क्योकिं
∠ I = ∠ E (प्रत्येक 90°)
∠ IVR = ∠ BVE
(शिर्षाभिमुख कोण है)
∴ RIV ~ BEV
( को. को. समरूपता)
RVBV = IVVE = RIBE
RVBV = 3620 = RI15
3620 = RI15
RI = 3620 x 15
RI = 9 x 3
∴ RI = 27 मीटर I उत्तर
Page No.:261
प्रश्न 4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
हल: दिया है: ABC ~PQR
तथा क्षेत्रफल (ABC) = क्षेत्रफल (PQR) … (1)
∵ ABC ~PQR (दिया है )
∴ क्षेत्रफल (ABC)क्षेत्रफल ( PQR) = ABPQ 2= BCQR 2= ACPR 2
11 = ABPQ 2= BCQR 2= ACPR 2
[समी. (1) से]
∴ ABPQ = BCQR = ACPR = 11
∴ ABPQ = 11
AB = PQ
इसी प्रकार BC = QR AC = PR
∴ दोनों त्रिभुज की संगत भुजाएँ बराबर है I
अतः ABC ≅ PQR सिद्ध हुआ I
Page No.:261
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
हल: दिया है: ABC ~ PQR
माना BC व QR के मध्य बिंदु क्रमशः D व S है I
तब AD व PS क्रमशः ABC व PQR के मध्यिकाएं है I
∵ ABC ~ PQR
∴ ABPQ = BCQR = ACPR ………(1)
तथा क्षेत्रफल (ABC)क्षेत्रफल ( PQR) = ABPQ 2= BCQR 2= ACPR 2 ………(2)
अब ADB व PSQ में
∠ B = ∠ Q
(समरूप त्रिभुज की संगत कोण है)
ABPQ = BCQR [समी. 1 से ]
ABPQ = 12BC12 QR
ABPQ = BDQS
∴ ADB ~ PSQ
( भु. को. भु. समरूपता)
ABPQ = BDQS = ADPS
ABPQ = ADPS ………(3)
अतः समीकरण (1) (2) व (3) से
क्षेत्रफल (ABC)क्षेत्रफल ( PQR) = ADPS 2
अन्य माध्यिकाओं के लिए भी इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है I सिद्ध हुआ I
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प्रश्न 6. शाहिद एक खंभे की लम्बाई का अनुमान लगाते समय इस प्रकार खड़ा होता है कि उसके सिर H की छाया व खंभे के शिखर Q की छाया एक ही बिन्दु D पर पड़ती है। यदि DE=1.6 मीटर और DF = 4.4 मीटर हो तो खंभे की लंबाई क्या होगी जबकि शाहिद की लम्बाई = 1.2 मीटर है ?
हल: यदि किसी समय पर शाहिद और खम्बे का उन्नयन कोण समान हो I
तो QFD व HED में
∠ QFD = ∠ HED = 90°
∠ D = ∠ D
(एक ही समय पर सूर्य का उन्नयन कोण)
QFD ~ HED (को. को. समरूपता)
QFHE = FDED = QDHD
QF1.2 = 4.41.6 = QDHD
अब QF1.2 = 4.41.6 = 4416
QF = 4416 x 1.2
∴ QF = 11 x 0.3 = 3.3 मीटर I उत्तर
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प्रश्न 7. (i) चित्र में कौन- से दो त्रिभुज ABC के समरूप हैं ? नाम लिखिए।
(ii) x और y का मान क्या होगा ?
हल: चित्रानुसार ACB व CMB में
∠ ACB = ∠ CMB (प्रत्येंक 90°)
∠ B = ∠ B (उभयनिष्ठ कोण)
∴ ACB ~ CMB (को. को. समरूपता)
स्पष्ट है कि AMC व BMC दोनों ABC के समरूप है I उत्तर
(ii) ∵ ACB ~ CMB
व ACB ~ AMC
∴ AMC ~ BMC
ACCB = AMCM = CMBM
x20 = y12 = 1216
x20 = y12 = 34
x = 34 x 20 = 15 y = 34 x 12 = 9
अतः x = 15 y = 9. उत्तर
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प्रश्न 8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है –
(i) 2 : 1 (ii) 1 : 2 (iii) 4:1 (iv) 1:4.
हल: दिया है: ABC व BDE समबाहु त्रिभुज हैं।
और BC का मध्य बिन्दु D है।
∴
BDE में
BD = DE = BE
बिंदु E BA का भी मध्य बिंदु होगा I
तब DE II CA होगा I
∴ BD = 12 BC तथा BE = 12 BA
अब BDE व BCA में
∠ B = ∠ B (उभयनिष्ठ कोण)
∠ BDE = ∠ BCA
(संगत कोण DE II CA)
∴ क्षेत्रफल (BDE)क्षेत्रफल ( BCA) = BDBC 2= BEBA 2= DECA 2
क्षेत्रफल (BDE)क्षेत्रफल ( BCA) = 12BCBC 2= 12 2= 14
क्षेत्रफल (ABC) : क्षेत्रफल (BDE) = 4:1 उत्तर
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प्रश्न 9. दो समरूप त्रिभुजों में 9ar(ABC) = 16ar (PQR) है तो ABPQ का मान होगा –
(i) 4:3 (ii) 16:3 (iii) 3 : 4 (iv) 9 : 4.
हल:
दिया है: ABC ~ PQR
∴ क्षेत्रफल (ABC)क्षेत्रफल ( PQR) = ABPQ 2= BCQR 2= ACPR 2 …….(1)
परन्तु 9 (क्षेत्रफल (ABC))= 16 (क्षेत्रफल (PQR))
क्षेत्रफल (ABC)क्षेत्रफल ( PQR) = 169 ………..(2)
ABPQ 2= 169 [समी. (1) व (2) से ]
ABPQ = 43
AB: PQ = 4 : 3 उत्तर
करके देखें –
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प्रश्न 1. एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि निचला सिरा दीवार से 2.5 मीटर की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 मीटर की ऊँचाई पर बनी एक खिड़की तक पहुँचता है I सीढ़ी की लम्बाई क्या होगी ? हल: माना AB दीवार एवं AC सीढ़ी है I
BC = 2.5 मी.
यदि खिड़की A पर हो तब AB = 6 मी.
AC = ?
∠B = 90°
∴ समकोण त्रिभुज ABC में पाइथागोरस प्रमेय से
AC2 = AB2 + BC2
= 62 + (2.5)2
= 36 + 6.25 = 42.25
∴ AC = 42.25 = 6.5 मी.
अतः सीढ़ी की लम्बाई 6.5 मी. होगी I उत्तर
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प्रश्न 1. निम्नलिखित आकृतियों का कौन सा युग्म समरूप नहीं है और क्यों ?
उत्तर- चित्र (i) में निरूपित चतुर्भुज युग्म समरूप नहीं है क्योंकि पहला चतुर्भुज समलम्ब चतुर्भुज है पर दूसरा चतुर्भुज समलम्ब नहीं है I
चित्र (ii) में निरुपित चतुर्भुज युग्म समरूप है क्योकि संगत भुजाओं का एक युग्म का अनुपात समान है अर्थात् 1218 = 1015 = 23 तथा इनके द्वारा अंतरित कोण भी समान
होगा क्योकिं यें शिर्षभिमुख कोण है I चित्र (iii) में निरुपित त्रिभुज युग्म समरूप नहीं है I क्योकि संगत कोण का केवल एक्युग्म समान है I अतः अन्य संगत कोणों की समानता के बारे में कुछ कहा नहीं जा सकता I
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प्रश्न 2. मेघा ने दो समरूप पतंगें बनाई। बड़ी पतंग का विकर्ण छोटी पतंग के विकर्ण का 1.5 गुना है Iतब
(i) स्केल गुणक क्या होगा?
(ii) बडी पतंग के विकर्णो की माप ज्ञात कीजिए। जबकि BD = 40 सेमी.
और AC = 68 सेमी.
हल: ∵ दोनों पतंगे समरूप है I
∴ संगत विकर्ण का अनुपात समान होगा I
बड़ी पतंग का विकर्ण = 1.5 x छोटी पतंग का विकर्ण
बड़ी पतंग का विकर्णछोटी पतंग का विकर्ण = 1.5
(i) ∴ स्केल गुणक = 1.5
(ii) ∴ बड़ी पतंग का पहला विकर्ण
= 40 x 1.5 = 60.0
= 60 सेमी
तथा बड़ी पतंग का दूसरा विकर्ण = 68 x 1.5 = 102.0
= 102 सेमी I उत्तर
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प्रश्न. 3 एक समकोण PQR में कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM QR पर दर्शाइए कि- PM2 = QM.MR.
हल: दिया है: PQR में
∠ P = 90°
तथा PM QR
∴ ∠ PMR = ∠PMQ = 90°
PQR में
∠ QPR = 90°
∠ PQR + ∠ PRM = 90° ………(1) (∠PRM = ∠PRQ)
(समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण योग)
PMR में
∠ PMR = 90°
( ∵ PM QR दिया है )
∠ PRM + ∠ RPM = 90° ………(2)
समी. (1) व (2) से
∠ PQR + ∠ PRM = ∠ PRM + ∠ RPM
∠ PQR = ∠ RPM ………(3)
अब PMR व PMQ में
∠ PMR = ∠ PMQ
( प्रत्येक कोण 90°)
तथा ∠ RPM = ∠ PQR [समी. (3) से ]
∴ PMR ~ PMQ
(को. को. समरूपता से)
PRPQ = RMPM = PMQM
(समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ)
RMPM = PMQM
PM.PM = QM.RM
अतः PM2 = QM.MR. सिद्ध हुआ I
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प्रश्न. 4 एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:- माना ABC में
AB = BC = CA = 2a अतः BD = DC = 2a2 = a
AD BC
∵ ABC समबाहु है I
∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C = 180°3 = 60°
अब ADB व ADC में
∠ ADB = ∠ ADC
( प्रत्येक कोण 90° )
∠ B = ∠ C ( प्रत्येक कोण 60°)
∴ ADB ~ ADC
( को. को. समरूपता से)
BD = DC
BD = DC = BC2 = 2a2 = a
ADB में पाइथागोरस प्रमेय से
AB2 = AD2 + BD2
(2a)2 = AD2 + a2
AD2 = (2a)2 – a2
AD2 = 4a2 – a2
AD2 = 3a2
∴ AD = a3 इकाई
समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक शीर्षलम्ब समान होते हैं I
∴ सभी शीर्षलंबो की लम्बाई a3 इकाई होगी I उत्तर
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प्रश्न. 5 ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है। सिद्ध कीजिए AB2 = 2 AC2 है।
हल: दिया है: ABC समद्विबाहु त्रिभुज है
तथा ∠ C = 90°
सिद्ध करना है: AB2 = 2 AC2
∵ ACB समकोण समद्विबाहु है
∴ AC= BC …….. (1)
अब पाइथागोरस प्रमेय से
AB2 = AC2 + BC2
AB2 = AC2 + AC2 [समी. 1 से ]
AB2 = 2AC2 सिद्ध हुआ I
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प्रश्न. 6 यदि दिए गए चित्र में
OR’ = 2.OR
OS’ = 2.OS
OT’ = 2.OT
सिद्ध कीजिए कि RST ~ R’S’T’
हल: दिया है: STR व S’T’R’ में
OR’ = 2.OR
OR’OR = 21 ……….(1)
OS’ = 2.OS
OS’OS = 21 ……….(2)
तथा OT’ = 2.OT
OT’OT = 21 ……..(3)
समी. (1) (2) व (3) से
OR’OR = OS’OS = OT’OT = 21
∴ OR’OR = OS’OS से
R’S’RS = OR’OR = OS’OS ……..(4)
इसी प्रकार OR’OR = OT’OT से
R’T’RT = OR’OR = OT’OT ……..(5)
तथा OS’OS = OT’OT से
S’T’ST = OS’OS = OT’OT ……..(6)
समी. (4) (5) व (6) से
R’S’RS = R’T’RT = S’T’ST
∴ R’ S’ T’ ~ RST.
(संगत भुजाएँ आनुपातिक है अर्थात् भु. भु. समरूपता से ) सिद्ध हुआ I
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प्रश्न. 7 एक त्रिभुज ABC जिसमें ∠ C समकोण है। भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए – AE2+ BD2 = AB2 + DE2.
हल: ∵ ABC समकोण त्रिभुज है I
∠ C = 90°
∴ ACE समकोण त्रिभुज होगा I
AE2 = AC2 + CE2 ………..(1)
(पाइथागोरस प्रमेय से)
अब DCB से
BD2 = DC2 + CB2 ………..(2)
समी. (1) व (2) को जोड़ने पर
AE2 + BD2 = ( AC2 + CE2 ) + ( DC2 + CB2 )
= AB2 + DE2 ( ACB में AB2 = AC2 +CB2 )
DCE में DE2 = DC2 +CE2 )
अतः AE2 + BD2 = AB2 + DE2 सिद्ध हुआ I
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प्रश्न. 8 ACB में ∠ ACB = 90° तथा CD AB है। सिद्ध कीजिए कि BC²AC² =BDAD .
हल: दिया है : ACB में
∠ ACB = 90°
तथा CD AB
∵ ∠ ACB = 90°
∴ ∠ ACD + ∠ BCD = 90° …….(1)
इसी प्रकार BDC में
∠ BDC = 90° (CD AB)
∠ DCB + ∠ B = 90° ………..(2)
समी. (1) व (2) से
∠ ACD + ∠ BCD = ∠ DCB + ∠ B
∠ ACD = ∠ B ………(3)
अब ADC व BDC में
∠ ADC = ∠ BDC (प्रत्येक कोण 90°)
∠ ACD = ∠ B [समी. 3 से ]
∴ ADC ~ BDC
(को. को. समरूपता से)
ACBC = ADCD = CDBD (संगत भुजाएँ)
ADCD = CDBD
CD2 = AD x BD …….(4)
∵ ADC ~ BDC
∴ क्षेत्रफल ( ABC)क्षेत्रफल ( BDC) = AC2BC2 = AD2CD2 = CD2BD2
AC2BC2 = AD2CD2
AC2BC2 = AD2AD X BD [समी. 4 से]
AC2BC2 = ADBD
BC2AC2 = BDAD सिद्ध हुआ I
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प्रश्न. 9 यदि पृथ्वी का व्यास लगभग 8000 मील है सूर्य का व्यास लगभग 864000 मील है। पृथ्वी और सूर्य की दूरी लगभग 92 मिलियन मील है।
यदि कागज पर पृथ्वी को 1 इंच व्यास के वृत्त से दर्शाएँ तो सूर्य का व्यास और पृथ्वी से सूर्य की दूरी कागज पर कितनी होगी? (1मिलियन = 106).
हल: दिया है: पृथ्वी का व्यास = 8000 मील
सूर्य का व्यास = 864000 मील
पृथ्वी तथा सूर्य की दूरी = 92 मिलियन मील
= 92 x 106 मील
∵ कागज पर पृथ्वी का व्यास = 1 इंच
∴ 8000 मील = 1 इंच
∴ 864000 मील = 18000 x 864000 इंच
= 8648 = 108 इंच
∴ सूर्य का व्यास = 108 इंच उत्तर
तथा ∵ 8000 मील = 1 इंच
∴ 92 x 106 मील = 18000 x 92 x 106 इंच
∴ = 92 X 1038 = 11.5 x 103 इंच
अतः पृथ्वी और सूर्य की दूरी = 11500.0 इंच I उत्तर
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प्रश्न.10 यदि दो समषट्भुजों के परिमाप का अनुपात 5:4 है तो उनकी भुजाओं का अनुपात क्या होगा?
हल: चूँकि दो समषट्भुज समरूप होते है अतः उनकी संगत भुजाओं का अनुपात वही होगा जो उनकी संगत परिमापो में होगा I
∵ माना समषट्भुज ABCDEF~ समषट्भुज PQRSTU
∴ ABPQ = समषट्भुज ABCDEF का परिमाप समषट्भुज PQRSTU का परिमाप
ABPQ = 54
∴ AB : PQ = 5 : 4 उत्तर