CG Board Class 8 Maths Solutions Chapter 1 वर्ग एवं धन is specifically designed for Hindi medium students of Class 8 studying in Chhattisgarh Board of Secondary Education. यह समाधान कक्षा 8 गणित पुस्तक छात्रों को अवश्यक अपने अध्ययन को सुगम बनाने के लिए इस समाधान पुस्तक का उपयोग करना चाहिए।
CG Board Class 8 Maths Solutions Chapter 1 वर्ग एवं धन
CGBSE समाधान कक्षा 8 गणित अध्याय 1 – वर्ग एवं धन हिंदी माध्यम में छात्रों के लिए बनाए गए हैं। यह समाधान छात्रों की सुविधा के लिए बनाई गई है और सीजीबीएसई बोर्ड के कक्षा 8 के छात्रों के लिए उपयुक्त है।
CG Board Class 8 Maths Solutions Chapter 1 गणित are given below for Hindi Medium students.
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अभ्यास -1
जाँच कीजिए कि नीचे दिए गए त्रिक पाइथागोरीय त्रिक है अथवा नहीं ?
(i)(5,12,13)
हल :- 5,12,13
= 〖5 〗^(2 )+〖12 〗^(2 )=25 +144 =169
= 13^(2 )=169
अतः 〖5 〗^(2 )+〖12 〗^(2 )=13^(2 ) पाइथागोरीय त्रिक है।
(ii)(8,15,17)
हल :- 8,15,17
=8^2+15^2=64+225=289
17^2=289
8^2+15^2=17^2पाइथागोरीय त्रिक है।
(iii)(10,15,25 )
हल :- 10,15,25
10^2+15^2=100+225=325
25^2=625
10^2+15^2≠25^2=625
पाइथागोरीय त्रिक नहीं है।
(iv)(4,7,11)
हल :- 4,7,11
4^2+7^2=16+49=65
11^2=121
4^2+7^2≠11^2
पाइथागोरीय त्रिक नहीं है।
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अभ्यास -2
(i)वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका 200 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाये।
हल :-
2 200
2 100
2 50
5 25
5 5
1
2 ×2 ×2 ×5 ×5
200 के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 का जोड़ा नहीं है अतः पूर्ण वर्ग संख्या वह होगी जिसमें 2 का जोड़ा हो अतः 200 को 2 से गुणा करना होगा।
(ii) वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका 180 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाये।
हल :-
2 180
2 90
3 45
3 15
5 5
1
2 ×2 ×3 ×3 ×5
180 के अभाज्य गुणनखंड में केवल 5 का जोड़ा नहीं है अतः पूर्ण वर्ग संख्या वह होगी जिसमें 5 का जोड़ा हो अतः 180 को 5 से गुणा करना होगा।
(iii) वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका 2352 में भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जाये।
हल :-
2 2352
2 1176
2 588
2 294
3 147
7 49
7 7
1
2×2×2×2×3×7×7
2352 को 3 से भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जाएगी।
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प्रश्नावली 1.1
प्रश्न 1. निम्न संख्या के गुणनखंडो के जोड़े बनाकर बताईये कि ये संख्याये पूर्ण वर्ग है अथवा नहीं ?
(i) 164 (ii) 121 (iii) 289 (iv) 729 (v) 1100
हल :- (i) 164
164 =2 ×2 ×41
यह पूर्ण वर्ग नहीं है क्योकि 41 का जोड़ नहीं बन रहा है।
अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है। उत्तर
(ii) 121
121 =11 x 11
अतः यह पूर्ण वर्ग है क्योकि 11 का जोड़ा बन रहा है। उत्तर
(iii) 289
289 =17 x17
अतः यह पूर्ण वर्ग है क्योकि 17 का जोड़ा बन रहा है। उत्तर
(iv) 729
√(729 ) = √(3 ×3 ×3 ×3 ×3 ×3 )
= 3 ×3 ×3 =27
अतः यह पूर्ण वर्ग है क्योकि 3 के तीन जोड़े है। उत्तर
(v) 1100
1100 =2 x 2 x 5 x 5 x 11
अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है क्योकि 2 एवं 5 का जोड़ा है ,किन्तु 11 का जोड़ा नहीं बन रहा है।
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प्रश्नावली 1.1
प्रश्न 2. निम्न संख्याओं के पूर्ण वर्ग न होने का कारण बताईये
(i) 12000 (ii)1227 (iii) 790 (iv)1482 (v) 165000
(vi) 15050 (vii) 1078 (viii)8123
हल :- (i) 12000
12000 = 2 x2 x2 x2 x2 x3 x5 x5 x5
अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है क्योकि अभाज्य गुणनखंडो के पूण जोड़े प्राप्त नहीं हो रहे है।
(ii) 1227
1227 = 3 x 409
अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है क्योकि इसके अभाज्य गुणनखंड के पूर्ण जोड़े प्राप्त नहीं हो रहे है। उत्तर
(iii) 790
790 =2 x 5 x 79
अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है क्योकि इसके अभाज्य गुणनखंडो के जोड़े प्राप्त नहीं हो रहे है | उत्तर
(iv) 1482
अतः यह पूर्ण वर्ग नहीं है क्योकि इसके अभाज्य गुणनखंड के पूर्ण जोड़े नहीं बन रहे है।
(v) 165000
हल :-
165000 =2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 x11
अतः यह पूर्ण संख्या नहीं है क्योकि इसके अभाज्य गुणनखंड पूरे तरह जोड़े में नहीं है।
(vi) 15050
15050 =2 x 5 x 5 x 7 x 43
अतः यह पूर्ण संख्या नहीं है क्योकि इसके अभाज्य गुणनखंड पुरे तरह जोड़े में नहीं है।
(vii )1078
1078 =2 x 7 x 7 x 11
अतः यह पूर्ण संख्या नहीं है क्योकि इसके अभाज्य गुणनखंड पुरे तरह जोड़े में नहीं है।
(viii) 8123
हल :- यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है क्योकि इसके इकाई के स्थान पर 3 आता है। अतः 8123 एक पूर्ण संख्या नहीं है।
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प्रश्नावली 1.1
प्रश्न 3. निम्न संख्याओं में से किन संख्याओं का वर्ग सम संख्या एवं किन संख्याओं का वर्ग विषम संख्या है ?
(i) 14 (ii) 277 (iii) 179 (iv )205 (v) 608 (vi)11288
(vii) 1079 (viii) 4010 (ix) 1225
नियम -(i) सम संख्याओं का वर्ग सम संख्या होती है।
(ii)विषम संख्याओं का वर्ग विषम संख्या होती है।
(i) 14
यह सम संख्या है अतः इसका वर्ग सम संख्या होगा।
(ii) 277
यह विषम संख्या है अतः इसका वर्ग विषम संख्या होगा।
(iii)179
यह विषम संख्या है अतः इसका वर्ग विषम संख्या होगा।
(iv) 205
यह विषम संख्या है अतः इसका वर्ग विषम संख्या होगा।
(v)608
यह सम संख्या है अतः इसका वर्ग सम संख्या होगा।
(vi) 11288
यह सम संख्या है अतः इसका वर्ग सम संख्या होगा।
(vii) 1079
यह विषम संख्या है अतः इसका वर्ग विषम संख्या होगा।
(viii) 4010
यह सम संख्या है अतः इसका वर्ग सम संख्या होगा|
(ix)1225
यह विषम संख्या है अतः इसका वर्ग विषम संख्या होगा।
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प्रश्नावली 1.1
प्रश्न 4. निम्न प्रतिरूप का अवलोकन करें एवं रिक्त स्थानों की पूर्ति करें |
〖11 〗^(2 ) = 121
101^2 = 10201
1001^2 = 1002001
10001^(2 = ——-)
100001^2 = —–
—– = 1000002000001
हल :- (i),(ii),(iii) प्रतिरूप देखने से स्पष्ट है कि
〖11 〗^(2 )=121
〖101 〗^(2 )=10201
इसमें 1 के बाद 2 एवं 2 के बाद 1 शून्य क्योंकि 101 में एक शून्य है।
इसी तरह 〖(1001) 〗^(2 )में इस संख्या में दो शून्य है अतः इसके वर्ग में भी 1 के बाद दो शून्य एवं 2 के बाद दो शून्य है। अतः इसी प्रकार अन्य सभी होगा।
〖10001 〗^(2 ) = 100020001
कारण – इसमें 〖10001 〗^(2 ) में तीन शून्य है। अतः इसके वर्ग संख्या में 1 के बाद तीन शून्य एवं 2 के बाद तीन शून्य होंगे।
〖100001 〗^(2 ) = 10000200001
कारण – ऊपर लिखे कारण के अनुसार।
〖1000001 〗^(2 ) = 1000002000001
कारण – 1000002000001 में 1 के बाद पाँच शून्य एवं 2 के बाद पाँच शून्य है। अतः इसके वर्गमूल की संख्या में 5 शून्य 1 एवं 1 के बीच में भी होंगे।
अतः 1000001
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प्रश्नावली 1.2
प्रश्न 1. निम्न संख्याओं में से कौन सी संख्या पूर्ण घन है और कौनसी नहीं ? 〖^〗
(i) 125 (ii) 800 (iii) 729 (iv) 2744 (v) 22000 (vi) 832
हल :- (i) 125 = 5 ×5 ×5 =〖5 〗^(3 )
अतः यह पूर्ण घन है।
कारण -125 के गुणनखंड में 5 का त्रिक बन रहा है।
(ii) 800 =2 ×2 ×2 ×10 ×10 =〖2 〗^(3 )×〖10 〗^(2 )
अतः यह पूर्ण घन नहीं है।
कारण – 2 का त्रिक है लेकिन 10 का त्रिक नहीं बन रहा है।
(iii) 729 =3 ×3 ×3 ×3 ×3 ×3
अतः यह पूर्ण घन है।
कारण – इसमें 729 के गुणनखंडों में 3 का त्रिक बन रहा है।
(iv) 2744 =2 ×2 ×2×7×7 ×7
अतः यह पूर्ण घन है।
कारण -इसमें 2 और 7 का त्रिक बन रहा है।
(v) 22000 = 2 ×2 ×2 ×2 ×5×5 ×5 ×11
अतः यह पूर्ण घन नहीं है।
कारण – यहाँ पर सभी संख्याओं का त्रिक नहीं बन रहा है।
(vi) 832 =2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×13
अतः यह पूर्ण घन नहीं है।
कारण – यहाँ पर 2 का त्रिक है पर 13 का त्रिक नहीं बन रहा है।
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प्रश्नावली 1.2
प्रश्न 2. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 256 को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण घन बन जाए।
हल :- 256
256 = 2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2
= 〖2 〗^(3 )×〖2 〗^(3 )×2^(2 )
इसमें 2 का और गुणा करने पर 2 का त्रिक बन जायेगा। अतः 2 का गुणा करने पर पूर्ण घन बन जायेगा।
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प्रश्नावली 1.2
प्रश्न 3 . वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1352 को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण घन बन जाए।
हल :-1352
1352 =2 ×2 ×2 ×13 ×13
2 का त्रिक जोड़ा तो है किन्तु 13 का त्रिक नहीं बन रहा है। अतः 13 का और गुणा करने पर यह पूर्ण घन संख्या बन जाएगी।
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प्रश्नावली 1.2
प्रश्न 4. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 8019 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन बन जाए।
हल :- 8019
8091 = 9 ×9 ×9 ×11
यहाँ पर 9 का त्रिक (जोड़ों )है किन्तु 11 का त्रिक नहीं है।
अतः 11 का भाग देने पर भागफल पूर्ण घन संख्या बन जाएगी।
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प्रश्नावली 1.2
प्रश्न 5. प्रश्न 1 में जो संख्याएँ घन संख्याएँ नहीं है उन्हें किस छोटी से छोटी संख्या से गुणा करे की गुणनफल घन संख्या बन जाये।
हल :- प्रश्न 1 में निम्न संख्याये पूर्ण घन है
(ii)800 (v)22000 (vi)832
हल :- (ii)800
800 =2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×5 ×5
2 का एक त्रिक (जोड़ा )है किन्तु 2 एवं 5 का त्रिक (जोड़ा )नहीं है।
अतः 2 ×5 =10 का गुणा कर दे तो यह पूर्ण घन बन जाएगी।
(v) 22000
22000 =2 ×2 ×2 ×2 ×5 ×5 ×5 ×11
दो गुणनखंडों में त्रिक है। तीन तीन का जोड़ा है किन्तु 2 × 11 का त्रिक (जोड़ा )नहीं है।
अतः 2 ×2 ×11 ×11=484 का और गुणा करे तो यह पूर्ण घन बन जायेगा।
(vi) 832
832 =2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×13
यहाँ पर 2 का त्रिक (जोड़ा)है परन्तु 13 का त्रिक नहीं है बन रहा है।
अतः 〖13 〗^(2 )=169 का गुणा कर दे तो यह पूर्ण घन बन जाएगी
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अभ्यास -3
निम्नलिखित के वर्गमूल मौखिक बताईये :-
25 ,49 ,64 ,81 ,121 ,144
हल :- √25=5
(ii)√(49 ) =7
(iii)√(64 )=8
(iv)√(81 ) =9
(v)√(121 ) =11
(vi)√(144 ) =12
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अभ्यास -4
निम्नलिखित के अभाज्य गुणनखंड करके वर्गमूल ज्ञात कीजिये –
(i)289
हल :-
17 289
17 17
1
17×17=17
(ii)625
हल :- 625
5 625
5 125
5 25
5 5
1
5×5×5×5=5×5=25
(iii)900
हल :- 900
2 900
2 450
3 225
3 75
5 25
5 5
1
2×2××3×3×5×5
2×3×5=30
(iv)361
19 361
19 19
1
=19×19
=19
(v)1764
2 1764
2 882
3 441
3 147
7 49
7 7
1
2×2×3×3×7×7
2×3×7=42
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प्रश्नावली 1.3
प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल अभाज्य गुणनखण्ड द्वारा ज्ञात करिए
(i) 361 (ii) 400 (iii) 784 (iv)1024 (v) 2304 (vi) 7056
हल :- 361
√(361 ) = √(19 ×19 )
= 19 ( जोड़े से एक संख्या लेने पर ) उत्तर
(ii) 400
= 2 ×2 ×2 ×2 ×5 ×5
√(400 ) = √(2 ×2 ×2 ×2 ×5 ×5 )
= 2 ×2×5
=20 उत्तर
(iii) 784
=2×2×2×2×7×7
√(784 ) = √(2×2×2×2×7×7)
= 2×2×7
=28 (प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लेने पर ) उत्तर
(iv) 1024
= 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
√(1024 ) = √(2×2×2×2×2×2×2×2×2×2)
= 2×2×2×2×2
= 32 (प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लेने पर ) उत्तर
(v) 2304
= 2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
√2304 = √(2×2×2×2×2×2×2×2×3×3)
= 2×2×2×2×3 (प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लेने पर )
= 48 उत्तर
(vi) 7056
= 2×2×2×2×3×3×7×7
√7056 = √( 2×2×2×2×3×3×7×7)
= 2×2×3×7 (प्रत्येक जोड़े से एक संख्या लेने पर )
=84 उत्तर
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प्रश्नावली 1.3
प्रश्न 2. एक बालको की टोली ने 256 आम ख़रीदे और आपस में बाँट लिए यदि प्रत्येक को उतने ही आम मिले जितनी टोली में बालक थे तब बालको की संख्या बताईये।
हल :- 256 का वर्गमूल ज्ञात करना है –
256 = 2×2×2×2×2×2×2×2
√256 = √( 2×2×2×2×2×2×2×2)
= 2×2×2×2
= 16
अतः प्रत्येक बालक को 16 आम एवं बालको की संख्या 16 होगी।
जाँच -प्रत्येक बालक को 16 आम मिले ,बालको की संख्या भी 16 होगी।
16×16=256
कुल आम =256. उत्तर
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प्रश्नावली 1.4
प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल ,भाग विधि से ज्ञात कीजिए :-
(i) 529 (ii) 1369 (iii) 1024 (iv) 5776
(v) 900 (vi)7921 (vii) 50625 (viii) 363609
हल :-529
√(529 )
√(529 ) = 23 उत्तर
(ii)1369
√(1369 )
√(1369 ) = 37 उत्तर
(iii) 1024
√(1024 )
√(1024 ) = 32 उत्तर
(iv) 5776
हल :- √(5776 )
√5776 = 76 उत्तर
(v) 900
√900
√900 = 30 उत्तर
(vi) 7921
√7921
√7921 = 89 उत्तर
(vii) 50625
√50625
√50625=225 उत्तर
(viii) 363609
√363609
√363609 = 603 उत्तर
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प्रश्नावली 1.4
प्रश्न 2. एक सिनेमा हॉल में सिनेमा मालिक सीटों को इस प्रकार व्यवस्थित करना चाहते है कि सिनेमा हॉल में जितनी स्तम्भों की संख्या है ,उतनी ही संख्या पंक्तियों की हो। यदि उस हॉल कुल 1849 सीटों हो तो पंक्तियों व स्तम्भों की संख्या ज्ञात कीजिए ?
हल :- दिया गया है –
सिनेमा हॉल में सीटों की संख्या =1849
यहाँ पर जितनी स्तम्भों की संख्या है उतनी ही संख्या पंक्तियों की होंगी।
पंक्तियों व स्तंभों की संख्या = √(1849 )
अब , √(1849 )=
अतः पंक्तियाँ व स्तंभों की संख्या = 43 उत्तर
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प्रश्नावली 1.4
प्रश्न 3. एक वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल 1444 वर्ग मीटर हो तो बगीचे की लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिये ?
हल :- दिया गया है –
बगीचे का क्षेत्रफल =1444 वर्गमीटर
चुकी बगीचा वर्गाकार है अतः लम्बाई व चौड़ाई समान होगी।
बगीचे की लम्बाई =√(बगीचे का क्षेत्रफल )
अतः बगीचे की लम्बाई =38 मीटर उत्तर
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प्रश्नावली 1.5
प्रश्न 1 – निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिये :-
(i) 7.29 (ii) 16. 81 (iii) 9. 3025
हल :- (i) 7.29
√(7.29 ) =
√(7.29 ) = 2.7 उत्तर
(ii) 16.81
हल :- 16.81
√(16.81 ) =
√(16.81 ) = 4.1 उत्तर
(iii) 9.3025
हल : 9.3025
√9.3025=
√9.3025 = 3.05 उत्तर
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प्रश्नावली 1.5
प्रश्न 2 – निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल के दो स्थानों तक ज्ञात कीजिए :-
(i) 0.9 (ii) 5 (iii) 7
हल :- (i) 0.9
√(0.9 ) = 948
=0.95 उत्तर
(ii) 5
√(5 ) =
√(5 ) = 2.236
=2.24 उत्तर
(iii) 7
√(7 )=
√(7 ) =2.64 उत्तर
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प्रश्नावली 1.6
प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं के घनमूल ज्ञात कीजिये :-
(i)125 (ii)343 (iii)1331 (iv)2197 (v) 9261 (vi)166375 (vii)4913 (viii)42875
हल :- (i) 125
∛125 =
∛(125 ) = 5×5×5
= ∛(125 ) = 5 उत्तर
(ii)343
∛343 =
∛343 = 7×7×7
∛343 = 7 उत्तर
(iii)1331
∛1331=
∛1331=11×11×11
∛1331=11 उत्तर
(iv)2197
∛2197 =
∛2197 =13×13×13
∛2197 =13 उत्तर
(v) 9261
∛9261 =
∛9261 =3×3×3×7×7×7
∛9261 =3×7=21 उत्तर
(vi)166375
∛166375 =
∛166375 = 5×5×5×11×11×11
∛166375 = 5×11=55 उत्तर
(vii)4913
∛4913 =
∛4913 = 17×17×17
∛4913 =17 उत्तर
(viii)42875
∛42875=
∛42875=5×5×5×7×7×7
∛(42875 )=5×7
=35
∛42875 =35 उत्तर
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