CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 गणित का इतिहास – CGBSE Solutions PDF in Hindi

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CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 गणित का इतिहास

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प्र.1 सही जोड़ी बनाइए-

 भारती कृष्ण तीर्थ             ब्रह्मस्फुट सिद्धांत 

 वराहमिहिर                      सिद्धांत शिरोमणी

 ब्रह्मगुप्त                        आर्यभटीय

 भास्कराचार्य                    पंच सिद्धांत

 आर्यभट                          वैदिक गणित

उत्तर –    भारती कृष्ण तीर्थ वैदिक गणित 

             वराहमिहिर             पंच सिद्धांत

             ब्रम्हगुप्त ब्रम्हस्फुट सिद्धांत

             भास्कराचार्य                         सिद्धांत  शिरोमणि

             आर्यभट आर्यभटीय | 

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प्र.2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. आकाश तथा शून्य के लिए……………………शब्द का प्रयोग होता था।

2. तल्लक्षणा शब्द………………….संख्या हेतु होता था।

3. वर्णांक पद्धति का प्रयोग……………..गणितज्ञ ने अपने……………ग्रंथ में किया है।

4. …………….को ही अव्यक्त गणित कहा जाता था।

5. वैदिक गणित में……………….. सूत्र हैं।

उत्तर – 1 . खं , 2. 1053 , 3.आर्यभट, आर्यभटीय, 4. बीजगणित, 5. 16.  

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प्र.3 आधुनिक संख्या प्रणाली की विशेषताएँ लिखिए ?

उत्तर — स्थानीय मान आधुनिक संख्या प्रणाली की विशेषता है  |  

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प्र.4. शून्य के आविष्कार पर प्रकाश डालिए।

उत्तर — शून्य का आविष्कार वैदिक ऋषि गृत्समद ने किया था ऐसा वेदों में उल्लेख है | शून्य की संकल्पना का श्रेय महान संस्कृत व्याकरणाचार्य पाणिनि तथा पिंगल को दिया जाता है | ज्योतिषादि ग्रंथो में ‘खं’ को शून्य के अर्थ में प्रयुक्त किया गया है |    

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प्र.5 वर्णांक पद्धति का संक्षिप्त परिचय दीजिए ?

उत्तर — वर्णांक पद्धति के अनुसार वर्णमाला  अक्षरों को आर्यभट्ट ने निम्नलिखित मान प्रदान किये —

वर्ण	क	ख	ग	घ	ङ	च	छ	ज	झ	ञ	ट	ठ	ड	ढ	ण	त	थ	द	ध	न
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

वर्ण	प	फ	ब	भ	म	य	र	ल	व	श	ष	स	ह
अंक	21	22	23	24	25	30	40	50	60	70	80	90	100

वर्ण	अ	इ	उ	ऋ	लृ	ए	ऐ	ओ	औ
अंक	100	102	104	106	108	1010	1012	1014	1016

यह पध्दति बड़ी-बड़ी  संख्याओं को लिखने के लिए वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग कर लिखने की सर्वथा मौलिक विधि है | यह प्रणाली प्रचलित नहीं है किन्तु ग्रंथो के अध्ययन हेतु इसकी जानकारी उपयोगी है | 

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प्र.6 बौधायन प्रमेय क्या है ?

उत्तर — बौधायन प्रमेय का आशय है की एक आयत के विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल आयत की दोनों भुजाओं पर बने वर्गों में क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है | 

हम जानते हैं की आयत का विकर्ण आयत को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है तथा समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष अन्य दो भुजाओं के वर्गों में योग के बराबर  होता है | 

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प्र.7 के मान के संबंध में आर्यभट्ट के योगदान को लिखिए ?

उत्तर — आर्यभट्ट ने परिधि और व्यास के अनुपात अर्थात का लगभग मान निकाला था,जो आज तक दशमलव के चार स्थान तक सही है | 100 में 4 जोड़कर उसे ८ से गुणा करें और 62,000 जोड़े | यह योगफल 20,000 व्यास के वृत्त की परिधि 62,832 होगा | 

अर्थात पाई () = परिधि व्यास = 62832 20000

= 3.416.   

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प्र.8 वैदिक गणित ग्रंथ के रचयिता का नाम लिखिए एवं ग्रंथ का संक्षिप्त परिचय दीजिए। 

उत्तर— वैदिक गणित ग्रंथ के रचयिता महान गणितज्ञ एवं दार्शनिक जगद्गुरु भारती कृष्ण तीर्थ है | इसमें 16 सरल गणितीय सूत्र एवं 13 उपसूत्र या उपप्रमेय का वर्णन किया गया है | इस ग्रन्थ में 40 अध्याय है | 

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प्र. 1. बीजांक किसे कहते हैं ?

उत्तर — किसी संख्या के अंको का जोड़ एक अंक प्राप्त होने तक करते हैं | यही अंक उसका बीजांक कहलाता है | 

जैसे — 10 का बीजांक = 1 +0 = 1. 

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प्र. 2. निम्नलिखित संख्याओं के बीजांक ज्ञात कीजिए।

15, 38, 88, 99, 412, 867, 4852, 9875, 24601, 48956701.

हल : 15 का बीजांक = 1 + 5 = 6 

38 का बीजांक = 3 + 8 = 11 = 1 + 1 = 2 

88 का बीजांक = 8 + 8 = 16 = 1 + 6 = 7 

99 का बीजांक = 9 + 9 = 18 = 1 + 8 = 9 

412 का बीजांक = 4 + 1 + 2 = 7 

867 का बीजांक = 8 + 6 + 7 =21 =2 + 1 = 3 

4852 का बीजांक = 4 + 8 + 5 + 2 = 19 = 1 + 9 = 10 = 1 + 0  = 1 

9875 का बीजांक = 9 + 8 +7 + 5 = 29 = 2 + 9 = 11 = 1 + 1 = 2 

24601 का बीजांक = 2 + 4 + 6 + 1 = 13 = 1 + 3 = 4 

48956701 का बीजांक = 4 + 8 + 9 +5 + 6 + 7 + 1 = 40 = 4 + 0 = 4     

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प्र. 3. निम्नलिखित संख्याओं में क्या जोड़ दिया जाए की संख्या 9 से विभाजित हो जाए:-

 241, 861, 4441, 83504 .

हल : कोई संख्या 9 से तभी विभाजित होता है जब उसका बीजांक 9 हो 

(i) 241 का बीजांक = 2 + 4 + 1 = 7 

अतः संख्या में जोड़ने के लिए अभीष्ट अंक = 9 – 7 = 2. उत्तर 

(ii) 861 का बीजांक = 8 + 6 + 1 = 15 = 1 + 5 =6. 

अतः संख्या में जोड़ने के लिए अभीष्ट अंक = 9 – 6 = 3. उत्तर 

(iii) 4441 का बीजांक = 4 + 4 + 4 + 1 = 13 = 1 + 3 = 4.

अतः संख्या में जोड़ने के लिए अभीष्ट अंक = 9 – 4 = 5. उत्तर

(iv) 83504 का बीजांक = 8 + 3 + 5 + 4 = 20 = 2. 

अतः संख्या में जोड़ने के लिए अभीष्ट अंक = 9 – 2 = 7. उत्तर       

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प्र. 4. बीजांको की उपयोगिता लिखिए।

उत्तर — उत्तर की जाँच करने में |  

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सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् के प्रयोग से गुणा कर उत्तर की जाँच कीजिए –

(1) 23             (2)    44           (3)  92       (4)   55

    32                52                  37             55

(5) 123 (6) 414 (7) 504 (8) 812

     x 321     232     618     453

प्रश्न 1. 23 32. 

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

2   2           3   3                  

                ऊर्ध्व गुणा 

3   3           2   2    तिर्यक गुणा कर जोड़ने पर

अतः  

अतः 23 32 = 736. उत्तर 

उत्तर की जाँच — [ प्रथम संख्या 23 का बीजांक द्वितीय संख्या 32 का बीजांक ] का बीजांक 

  = उत्तर का 736 बीजांक 

• [ 5 5 ] का बीजांक = 7 + 3 + 6 

  25 का बीजांक = 16 

2 + 5 = 1 + 6 

      7 = 7 

अतः उत्तर सही है | 

प्रश्न 2.  44 52. 

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

4   4           4     4                  

5   5            2   2  

अतः 

अतः 44 52 = 2288 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 44 का बीजांक द्वितीय संख्या 52 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 2288 का बीजांक 

• [ 8 7 ] का बीजांक = (2 + 2 + 8 + 8) का बीजांक 

56 का बीजांक = 20 का बीजांक 

11 का बीजांक = 2 

2 = 2 

अतः  उत्तर सही है |  

प्रश्न 3. 92 37. 

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

9   9           2     2                  

3   3            7   7  

अतः 

अतः 92 37 = 3404. 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 92 का बीजांक द्वितीय संख्या 37 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 3404 का बीजांक 

• [ 2 1 ] का बीजांक = (3 + 4 + 4) का बीजांक 

2 का बीजांक = 11 का बीजांक 

2 = 2 

अतः  उत्तर सही है |  

प्रश्न 4. 55 55. 

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

5   5           5    5                  

5   5            5   5  

अतः 

अतः   55 55 = 3025. 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 55 का बीजांक द्वितीय संख्या 55 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 3025 का बीजांक 

• [ 1 1 ] का बीजांक = (3 + 2 + 5) का बीजांक 

1 का बीजांक = 10 का बीजांक 

1 = 1  

अतः  उत्तर सही है |  

प्रश्न 5. 123 321.  

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

1    1         2 1      2     3   2        3    3

3    3           2        3    2    1     2        1    1 

अतः

123 321  

अतः 123 321 = 39483. 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 123 का बीजांक द्वितीय संख्या 321 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 39483 का बीजांक 

• [ 6 6 ] का बीजांक = (3 + 9 + 4 + 8 + 3) का बीजांक 

36 का बीजांक = 27 का बीजांक 

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है |  

प्रश्न 6. 414 232.  

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

4    4         1 4      1     4   1        4    4 

2    2           3        2     3    2     3        2    2 

अतः

अतः 414 232 = 96048. उत्तर  

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 414 का बीजांक द्वितीय संख्या 232 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 96048 का बीजांक 

• [ 9 7] का बीजांक = (9 + 6 + 4 + 8 ) का बीजांक 

63 का बीजांक = 27 का बीजांक 

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है |  

प्रश्न 7. 504 618.  

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

5    5         0  5      0     4   0        4    4 

6    6           1      6      1    8     1        8    8  

अतः 

अतः 504 618 = 311472. उत्तर  

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 504  का बीजांक द्वितीय संख्या 618 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 311472 का बीजांक 

• [ 9 6 ] का बीजांक = (3 + 1 + 1 + 4 + 7 + 2 ) का बीजांक 

54 का बीजांक = 18 का बीजांक 

9 = 9    

अतः  उत्तर सही है |  

प्रश्न 8. 812 453.  

हल : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

8    8         1   8      1    2   1        2    2  

4    4           5       4     5    3     5        3    3  

अतः 

अतः 812 453 = 367836. उत्तर  

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 812  का बीजांक द्वितीय संख्या 453 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 367836 का बीजांक 

• [ 2 3 ] का बीजांक = (3 + 6 + 7 + 8 + 3 + 6 ) का बीजांक 

6 का बीजांक = 33 का बीजांक 

6 = 6   

अतः  उत्तर सही है |  

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प्रश्न 1- सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण के प्रयोग से हल करें: (जाँच भी कीजिए)

(1) 57 99               (2) 4378 9999               (3) 87 999

(4) 345 99999      (5) 48 9                       (6) 9457 999

प्रश्न 1. 57 99. 

हल : सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण से,

उत्तर का बायां भाग = 57 – 1 = 56 

उत्तर का दायां भाग = 99 – 56 = 43 

•  

अतः 57 99 = 5643. 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम प्रथम संख्या 57 का बीजांक द्वितीय संख्या 99 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 5643 का बीजांक 

•   [3 9] का बीजांक = (5 + 6 + 4 + 3) का बीजांक 

27 का बीजांक = 18 का बीजांक 

9 = 9 

अतः उत्तर सही है |

प्रश्न 2. 4378 9999. 

हल : सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण से,

उत्तर का बायां भाग = 4378 – 1 = 4377 

उत्तर का दायां भाग = 9999 – 4377 = 5622  

अतः 4378 9999 = 43775622. 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम प्रथम संख्या 4378 का बीजांक द्वितीय संख्या 9999 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 43775622 का बीजांक 

•   [4 9] का बीजांक = 9 

36 का बीजांक = 9 का बीजांक 

9 = 9 

अतः उत्तर सही है | 

प्रश्न 3. 87 999. 

हल : सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण से,

उत्तर का बायां भाग = 87 – 1 = 86 

उत्तर का दायां भाग = 999 – 86 = 913 

•  

अतः 87 999 = 86913. 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम प्रथम संख्या 87 का बीजांक द्वितीय संख्या 999 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 86913 का बीजांक 

•   [6 9] का बीजांक = 9 

54 का बीजांक = 9  

9 = 9 

अतः उत्तर सही है | 

प्रश्न 5. 48 9. 

हल : सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण से,

उत्तर का बायां भाग = 48 – 1 = 47 

उत्तर का दायां भाग = 479 – 47 = 432  

•  

अतः 48 9  = 432. 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम प्रथम संख्या 47  का बीजांक द्वितीय संख्या 9 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 432  का बीजांक 

•   [2 9] का बीजांक = (4 + 3 + 2) का बीजांक   

18 का बीजांक = 9    

9 = 9 

अतः उत्तर सही है | 

प्रश्न 6. 9457 999. 

हल : सूत्र एक न्यूनेन पूर्वेण से,

उत्तर का बायां भाग = 9457 – 1 = 9456 

उत्तर का दायां भाग = 9456999 – 9456 = 9447543   

अतः 9457 999  = 9447543.

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम प्रथम संख्या 9457  का बीजांक द्वितीय संख्या 999 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 9447543 का बीजांक 

•   [7 9] का बीजांक = (9 + 4 + 4 + 7 + 5 + 4 + 3) का बीजांक   

63 का बीजांक = 36     

9 = 9 

अतः उत्तर सही है |

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प्रश्न 2- सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण एवं अन्त्ययोर्दषकेऽपि के प्रयोग से हल कीजिए तथा बीजांक से जाँच कीजिए।

(1) 13 x 17    (2) 22 x 28    (3) 34 x 36   (4) 91 x 99

(5) 35 x 35    (6) 42 x 48    (7) 72 x 78   (8) 93 x 97

(9) 104 x 106 (10) 105 x 105 (11) 203 x 207 (12) 405 x 405

(13) 502 x 508 (14) 603 x 607 (15) 704 x 706 (16) 905 x 905

(17) 193 x 197 (18) 292 x 298 (19) 392 x 398 (20) 495 x 495

प्रश्न 1.  13 17. 

हल : उत्तर का बायां भाग = दहाई का एकाधिक दहाई 

= 2 1 = 2 

उत्तर का दायां भाग = इकाइयाँ  का गुणनफल 

= 3 7 = 21

अतः

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 13 का बीजांक x द्वितीय संख्या 17 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 221  का बीजांक 

•   [ 4 x 8 ] का बीजांक = (2 +2  + 1  ) का बीजांक 

32 का बीजांक = 5 

5 = 5 

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 2.  22  28 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  3 2 = 6  

उत्तर का दायां भाग = 2 8 = 16  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 22 का बीजांक x द्वितीय संख्या 28 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 616 का बीजांक 

•   [ 4 x 1 ] का बीजांक = (6 +1 + 6 ) का बीजांक 

4 का बीजांक = 13 का बीजांक  

      4 = 4  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 3.  34  36 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  4 3 = 12   

उत्तर का दायां भाग = 4 6 = 24   

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 34 का बीजांक x द्वितीय संख्या 36 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 1224 का बीजांक 

•   [ 7 x 9 ] का बीजांक = (1 +2 + 2 + 4) का बीजांक 

        63 का बीजांक = 9  

9 = 9   

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 4.  91  99 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  10 9 = 90  

उत्तर का दायां भाग = 1 9 = 9  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 91 का बीजांक x द्वितीय संख्या 99 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 9009  का बीजांक 

•   [ 1 x 9 ] का बीजांक = (9 +9 ) का बीजांक 

9 का बीजांक = 18 का बीजांक  

      9 = 9  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 5.  35  35 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  4 3 = 12   

उत्तर का दायां भाग = 5 5 = 25 

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 35 का बीजांक x द्वितीय संख्या 35 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 1225 का बीजांक 

•   [ 8 x 8 ] का बीजांक = (1 + 2 + 2 + 5 ) का बीजांक 

64 का बीजांक = 10 का बीजांक  

1 = 1

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 6.  42  48 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  5 4 = 20  

उत्तर का दायां भाग = 2 8 = 16  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 42 का बीजांक x द्वितीय संख्या 48 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 2016 का बीजांक 

•   [ 6 x 3 ] का बीजांक = (2 +1 + 6 ) का बीजांक 

18 का बीजांक = 9   

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 7.  72  78 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  8 7 = 56  

उत्तर का दायां भाग = 2  8 = 16  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 72 का बीजांक x द्वितीय संख्या 78 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 5616 का बीजांक 

•   [ 9 x 6 ] का बीजांक = (5 + 6 + 1 + 6 ) का बीजांक 

54 का बीजांक = 18 का बीजांक  

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 8.  93  97 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  10 9 = 90  

उत्तर का दायां भाग = 3 7 = 21  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 93 का बीजांक x द्वितीय संख्या 97 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 9021 का बीजांक 

•   [ 3 x 7 ] का बीजांक = (9 + 2 + 1 ) का बीजांक 

21 का बीजांक = 12 का बीजांक  

3 = 3 

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 9.  104  106 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  11 10 = 110   

उत्तर का दायां भाग = 4 6 = 24  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 104 का बीजांक x द्वितीय संख्या 106 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 11024  का बीजांक 

•   [ 5 x 7 ] का बीजांक = (1 +1 + 2 + 6 ) का बीजांक 

35 का बीजांक = 8 का बीजांक  

        8 = 8  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 10.  105  105 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  11 10 = 110   

उत्तर का दायां भाग = 5 5 = 25   

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 105 का बीजांक x द्वितीय संख्या 105 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 11025  का बीजांक 

•   [ 6 x 6 ] का बीजांक = (1 +1 + 2 + 5 ) का बीजांक 

36 का बीजांक = 9 का बीजांक  

9 = 9   

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 11.  203  207 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  21 20 = 420   

उत्तर का दायां भाग = 3 7 = 21  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 203 का बीजांक x द्वितीय संख्या 207 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 42021  का बीजांक 

•   [ 5 x 9 ] का बीजांक = (4 + 2 + 2 + 1 ) का बीजांक 

45 का बीजांक = 9 का बीजांक  

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 12.  405  405 .

हल : उत्तर का बायां भाग =  41 40 = 1640   

उत्तर का दायां भाग = 5 5 = 25  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 405 का बीजांक x द्वितीय संख्या 405 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 164025  का बीजांक 

•   [ 9 x 9 ] का बीजांक = (1 + 6 + 4 + 2 + 5 ) का बीजांक 

81 का बीजांक = 18 का बीजांक  

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 13.  502  508 .  

हल : उत्तर का बायां भाग =  51 50 = 2550    

उत्तर का दायां भाग = 2 8 = 16   

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 502 का बीजांक x द्वितीय संख्या 508 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 255016  का बीजांक 

•   [ 7 x 4 ] का बीजांक = (2 + 5 + 5 + 1 + 6  ) का बीजांक 

28 का बीजांक = 19 का बीजांक  

10 का बीजांक = 10 का बीजांक  

1 = 1 

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 14.  603  607 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  61 60 = 3660   

उत्तर का दायां भाग = 3 7 = 21   

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 603 का बीजांक x द्वितीय संख्या 607 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 366021  का बीजांक 

•   [ 9 x 4 ] का बीजांक = (3 + 6 + 6 + 2 + 1 ) का बीजांक 

36 का बीजांक = 18 का बीजांक  

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 15.  704  706 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  71 70 = 4970   

उत्तर का दायां भाग = 4 6 = 24   

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 704 का बीजांक x द्वितीय संख्या 706 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 497024  का बीजांक 

•   [ 2 x 4 ] का बीजांक = (4 + 9 + 7 + 2 + 4 ) का बीजांक 

8 का बीजांक = 26  का बीजांक  

8 = 8  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 16.  905  905 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  91 90 = 8190   

उत्तर का दायां भाग = 5 5 = 25  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 905 का बीजांक x द्वितीय संख्या 905 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 819025  का बीजांक 

•   [ 5 x 5 ] का बीजांक = (8 + 1 + 9 + 2 + 5 ) का बीजांक 

25 का बीजांक = 25 का बीजांक  

7 = 7   

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 17.  193  197 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  20 19 = 380   

उत्तर का दायां भाग = 3 7 = 21  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 193 का बीजांक x द्वितीय संख्या 197 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 38021  का बीजांक 

•   [ 4 x 8 ] का बीजांक = (3 + 8 + 2 + 1 ) का बीजांक 

32 का बीजांक = 14 का बीजांक  

5 = 5  

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 18.  292  298 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  30 29 = 870   

उत्तर का दायां भाग = 2 8 = 16  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 292 का बीजांक x द्वितीय संख्या 298 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 87016 का बीजांक 

•   [ 4 x 1 ] का बीजांक = (8 + 7 + 1 + 6) का बीजांक 

4 का बीजांक = 22 का बीजांक  

4 = 4  

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 19.  392  398 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  40 39 = 1560   

उत्तर का दायां भाग = 2 8 = 16  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 392 का बीजांक x द्वितीय संख्या 398 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 156016 का बीजांक 

•   [ 5 x 2 ] का बीजांक = (1 + 5 + 6 + 1 + 6 ) का बीजांक 

10 का बीजांक = 19 का बीजांक  

1 = 1  

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 20 .  495  495 . 

हल : उत्तर का बायां भाग =  50 49 = 2450   

उत्तर का दायां भाग = 5 5 = 25  

अतः

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 495 का बीजांक x द्वितीय संख्या 495 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 245025  का बीजांक 

•   [ 9 x 9 ] का बीजांक = (2 + 4 + 5 + 2 + 5  ) का बीजांक 

81 का बीजांक = 18 का बीजांक  

9 = 9  

अतः  उत्तर सही है |  

Page No. – 20

प्रश्न. निखिलम विधि से प्रश्नों को हल कर उत्तर की जांच बीजांक से कीजिए:-

(1) 13   (2) 104   (3) 105     (4) 98

   x 13       x 102       x 106       x 94

(5) 122           (6) 96     (7) 1012             (8) 998            (9) 1016

   x 102         x107           x 1004               x 974                x 998

प्रश्न  1. 13 x 13. 

हल : आधार अंक 10 

अतः 13 x 13 = 169 उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 13 का बीजांक x द्वितीय संख्या 13 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 169 का बीजांक 

 [ 4 x 4 ] का बीजांक = (1 + 6 + 9) का बीजांक 

16 का बीजांक = 16 का बीजांक  

7 = 7  

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 2. 104 x 102. 

हल : आधार अंक 100 

अतः 104 x 102 = 10608. उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 104 का बीजांक x द्वितीय संख्या 102 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 10608 का बीजांक 

  ( 5 x 3 ) का बीजांक = (1 + 6 + 8) का बीजांक 

15 का बीजांक = 15 का बीजांक  

6 = 6 

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 3. 105 x 106. 

हल : आधार अंक 100 

अतः 105  x 106 = 11130. उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 105 का बीजांक x द्वितीय संख्या 106 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 11130 का बीजांक 

  ( 6 x 7 ) का बीजांक = (1 + 1 + 1 +3) का बीजांक 

42 का बीजांक = 6 का बीजांक  

6 = 6 

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 4. 98 x 94. 

हल : आधार अंक 100 

अतः 98  x 94 = 9212. उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 98 का बीजांक x द्वितीय संख्या 94 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 9212 का बीजांक 

  ( 8 x 4) का बीजांक = (9 + 2 + 1 +2) का बीजांक 

32 का बीजांक = 14 का बीजांक  

5 = 5

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 5. 122 x 102. 

हल : आधार अंक 100 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 122 का बीजांक x द्वितीय संख्या 102 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 12444 का बीजांक 

•   ( 5 x 3) का बीजांक = (1 + 2 + 4 + 4 + 4) का बीजांक 

15 का बीजांक = 15 का बीजांक  

5 = 5

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 6. 96 x 107. 

हल : आधार अंक 100 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 96 का बीजांक x द्वितीय संख्या 107 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 10272 का बीजांक 

•   ( 6 x 8) का बीजांक = (1 + 2 + 7 + 2) का बीजांक 

48 का बीजांक = 12 का बीजांक  

3 = 3

अतः  उत्तर सही है | 

प्रश्न 7. 1012 x 1004. 

हल : आधार अंक 1000 

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 1012 का बीजांक x द्वितीय संख्या 1004 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 1016048 का बीजांक 

•   ( 4 x 5) का बीजांक = (1 + 1 + 6 + 4 + 8) का बीजांक 

20 का बीजांक = 20 का बीजांक  

2 = 2

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 8. 998 x 974. 

हल : आधार अंक 1000 

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 998 का बीजांक x द्वितीय संख्या 974 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 972052 का बीजांक 

•   ( 8 x 2) का बीजांक = (9 + 7 + 2 + 5 + 2) का बीजांक 

      25 का बीजांक = 25 का बीजांक  

      7 = 7

अतः  उत्तर सही है |

प्रश्न 9. 1016 x 998. 

हल : आधार अंक 1000

उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम संख्या 1016 का बीजांक x द्वितीय संख्या 998 का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 1013968 का बीजांक 

•   ( 8 x 8) का बीजांक = (1 + 1 + 3 + 9 + 6 + 8) का बीजांक 

    64 का बीजांक   = 28 का बीजांक  

(6 + 4) का बीजांक = (2 + 8) का बीजांक 

    10 का बीजांक  = 10 का बीजांक

1 = 1  

अतः  उत्तर सही है |

Page No. – 20

प्रश्न.सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण के प्रयोग से मुखाग्र उत्तर दीजिए:-

15² , 25² , 35² , 45² , 55² , 75² , 85² , 95² , 105² , 115² 

(1) 15²

हल :उत्तर का बायां भाग = दहाई का एकाधिकेन x दहाई 

      = 2 x 1 

      = 2

                 15² = 15 x 15  

  2/25 

225 

अतः 15²  = 225                                                       उत्तर

(2) 25²

हल : 25² = 25 x 25  

  6/25 

625 

अतः 25²  = 625         उत्तर

(3) 35²

हल : 35² = 35 x 35  

  12/25 

1225 

अतः 35²  = 1225 उत्तर 

(4) 45²

हल : 45² = 45 x 45  

  20/25 

2025 

अतः 45²  = 2025           उत्तर 

(5) 55²

हल : 55² = 55 x 55  

  30/25 

3025 

अतः 25²  = 3025 उत्तर 

(6) 75²

हल : 75² = 75 x 75  

  56/25 

5625 

अतः 75²  = 5625 उत्तर  

(7) 85²

हल : 85² = 85 x 85  

  72/25 

7225 

अतः 85²  = 7225 उत्तर 

(8) 95²

हल : 95² = 95 x 95  

  90/25 

9025 

अतः 95²  = 9025 उत्तर  

(9) 105²

हल : 105² = 105 x 105  

  110/25 

11025 

अतः 105²  = 11025 उत्तर 

(10) 115²

हल : 115² = 115 x 115  

  132/25 

13225 

अतः 115²  = 13225 उत्तर  

Page No. – 20

(a+b)² = a²+2ab+b²का प्रयोग कर हल कीजिए-

(1) 34²  (2) 19²  (3) 54²  (4) 64²  (5) 92²

प्रश्न 1. 34²

हल : 34²  = (3| 4)²

=

अतः 34²  = 1156

उत्तर 

प्रश्न 2. 19²

हल : 19²  = (1| 9)²

=

अतः 19²  = 361 उत्तर

प्रश्न 3. 54²

हल : 54²  = (5| 4)²

=

अतः 54²  = 2916 उत्तर

प्रश्न 4. 64²

हल : 64²  = (6| 4)²

=

अतः 64²  = 4096 उत्तर

प्रश्न 5. 92²

हल : 92²  = (9|2)²

=

अतः 92²  = 8664                                       उत्तर 

Page No. – 22

प्रश्न.सूत्र- यावत ऊनं तावत् ऊनी कृत्य वर्गं च योजयेत् के प्रयोग से हल कीजिए।

12², 14²,102², 105², 108², 94², 996²

(1) 12²

हल : 12 का विचलन = + 2

सूत्र —     (संख्या)²  = संख्या + (विचलन) | (विचलन)²  

12² = 12 + (2)/(+2)²

      12 +2 / 4           

       14 / 4         

        14

अतः 12² = 144

उत्तर   

(2) 14²

हल : 14² 

14² = 14 + (+4)/(+4)²

=

    अतः 14 ² = 196                                        उत्तर 

(3) 102²

हल : 

102² = 102 + (02)/(02)²

      102 +2 / 4           

       104 / 4         

        10404

अतः 102² = 10404         उत्तर 

(4) 105²

हल :  105² = 105 + (05)/(+05)²

      105 +05 /25           

       110 / 25         

        11025

अतः 105² = 11025       उत्तर

(5) 108²

हल :  108² = 108 + (08)/(+08)²

                     108 +8 /64           

                 116 / 64         

                11664

अतः 108² = 11664     उत्तर

(6) 94²

हल :  94² = 94 + (- 06)/(- 06)²

                  94-6 /36           

              88 /36         

            8836

अतः 94² = 8836   उत्तर

(7) 996²

हल :  996² = 996 + (- 004)/(- 004)²

                 996 -004 /016           

                 992 / 016         

                992016

अतः 996² = 992016   उत्तर

Page No. – 23

वर्गमूल सूत्र विलोकनम् से ज्ञात कीजिए।

(1) 9409 (2) 7569 (3) 8281 (4) 3249.

प्रश्न 1. 9409 

हल  : सूत्र विलोकनम् से,

9409 = 93 या 97

चूँकि 93 और 97 के बीच इकाई 5 वाली संख्या 95 है |

• 95 का वर्ग सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण से,

95² = 10 x 9 | 5² 

      = 90/25

      = 9025

चूँकि दी गई संख्या 9409, संख्या 9025 से बड़ी है,

अतः 9406 = 97.                             उत्तर

प्रश्न 2. 7569. 

हल  : सूत्र विलोकनम् से,

7569 = 83 या 87

चूँकि 83 और 87 के बीच इकाई 5 वाली संख्या 85 है |

• 85 का वर्ग सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण से,

85² = 9 x 8 | 5² 

      = 72/25

      = 7225

चूँकि दी गई संख्या 7569, संख्या 7225 से बड़ी है,

अतः 7569 =87.                                 उत्तर

प्रश्न 3. 8281 

हल  : सूत्र विलोकनम् से,

8281 = 91 या 99

चूँकि 91 और 99 के बीच इकाई 5 वाली संख्या 95 है |

• 95 का वर्ग सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण से,

95² = 10 x 9 | 5² 

      = 90/25

      = 9025

चूँकि दी गई संख्या 8281, संख्या 9025 से बड़ी है,

अतः 8281 = 91.                               उत्तर

प्रश्न 4. 3249 

हल  : सूत्र विलोकनम् से,

3249 = 53 या 57

चूँकि 53 और 57 के बीच इकाई 5 वाली संख्या 55 है |

• 55 का वर्ग सूत्र एकाधिकेन पूर्वेण से,

55² = 6 x 5 | 5² 

      = 30/25

      = 3025

चूँकि दी गई संख्या 3249, संख्या 3025 से बड़ी है,

अतः 3249 = 57.                              उत्तर

Page No. – 23

प्रश्न.सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् विधि से हल कर उत्तर की जाँच कीजिए।

1.   4x + 1 2)   4x + 2y 3) x – 3y     4)   x + 4

        x+5       3x+3y            x+3y         x+4 

     5) x²  +2x+1        6) 2x2+3y-4

       x² +3x+4         3x 2+4y+5

प्रश्न 1. 4x+1  

        x+5  

हल  : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

अतः

=  4x²  + 21x + 5 उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम व्यंजक 4x + 1 के गुणांकों का बीजांक x द्वितीय व्यंजक x + 5 के गुणांकों का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर 4x²  + 21x + 5 के गुणांकों का बीजांक 

( 5 x 6 ) का बीजांक = 30 का बीजांक 

30 का बीजांक = 3 

3 = 3 

अतः उत्तर सही है | 

प्रश्न 2. 4x+2y

          3x+3y

हल  : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

अतः 

=12×2 + 18xy +6y2 उत्तर  

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम व्यंजक 4x +2y  के गुणांकों का बीजांक x द्वितीय व्यंजक 3x+3y के गुणांकों का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर =12×2 + 18xy +6y2   के गुणांकों का बीजांक        ( 6 = x 6 ) का बीजांक = 36 का बीजांक 

36 का बीजांक = 9 

9 = 9 

अतः उत्तर सही है | 

प्रश्न 3.      x-3y

           x+3y 

हल  : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

अतः 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम व्यंजक x+3y   के गुणांकों का बीजांक x द्वितीय व्यंजक x+3y के गुणांकों का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर x2+9y2  के गुणांकों का बीजांक 

( –2  x 4 ) का बीजांक = ( 1 – 9)  का बीजांक 

–8 का बीजांक = –8 का बीजांक 

– 08  = – 8  

अतः उत्तर सही है |  

प्रश्न 4 .   x+4

          x+4   

हल  : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

अतः 

x2+8x+16 उत्तर 

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम व्यंजक x+4  के गुणांकों का बीजांक x द्वितीय व्यंजक x+4  के गुणांकों का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर x2+8x+16  के गुणांकों का बीजांक 

( 5  x 5 ) का बीजांक = 25 का बीजांक 

25 का बीजांक = 7 

      7  = 7 

अतः उत्तर सही है |  

 5)     x² +2x+1

       x²+3x+4  

हल  : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

अतः 

                                                                                            उत्तर

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम व्यंजक (x2+2x+1) के गुणांकों का बीजांक x द्वितीय व्यंजक

 (x²+3x+4) के गुणांकों का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर x4 +5×3+11×2+11x+4   के गुणांकों का बीजांक 

( 4  x 8 ) का बीजांक = 32 का बीजांक 

        32 का बीजांक = 5 

      5  = 5 

अतः उत्तर सही है |

6)    2x2+3y-4 

     3×2 +4y+5

हल  : सूत्र ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् से,

                 6x4+17x2y-2x2+12y2-y-20

             =  6x4+17x2y-2x2+12y2-y-20                          उत्तर  

उत्तर की जाँच —

[ प्रथम व्यंजक (2×2+3x–4) के गुणांकों का बीजांक x द्वितीय व्यंजक 

(3×2+4y+5) के गुणांकों का बीजांक ] का बीजांक = उत्तर  6x4+17x2y-2x2+12y2-y-20 के गुणांकों का बीजांक 

(  1 x 12) का बीजांक = 12 का बीजांक 

          12 का बीजांक = 3

        3 = 3 

अतः उत्तर सही है |