CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 11 चतुर्भुज are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 11 चतुर्भुज
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प्रश्न 1. संलग्न समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB और CD के मध्य बिंदु क्रमशः x और y है , सिद्ध कीजिए कि AXCY समान्तर चतुर्भुज है |
हल :- ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB||DC
⇒ 12AB||12DC
⇒ AX||YC
इसी प्रकार, AB=DC
∴ 12AB=12DC
⇒ AX=YC
अन्तः,AX||YC एवं AX=YC
चूँकि चतुर्भुज AXCY की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म AX तथा CY समान और समांतर है ,अन्तः AXCY एक समांतर चतुर्भुज है।
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प्रश्न 2- संलग्न चित्र में AB और DC दो समांतर रेखाएँ है , जिन्हें तिर्यक रेखा l रेखाखण्ड AB को P पर तथा रेखाखंड DC को R पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिये कि अंतः कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते है |
हल :-AB||DC तथा l तिर्यक रेखा है|
ㄥ1=ㄥ2
ㄥ3=ㄥ4
ㄥ5=ㄥ6
ㄥ7=ㄥ8
अब, ㄥ6+ㄥ5+ㄥ3+ㄥ4=1800,
(एक ही बिंदु पर ,एक ही रेखा पर बने कोण )
⇒ ㄥ5+ㄥ5+ㄥ3+ㄥ3=1800, (∵ㄥ5=ㄥ6,ㄥ3=ㄥ4)
⇒ 2(ㄥ5+ㄥ3)=1800
⇒ ㄥ5+ㄥ3=900
अंतः समद्विभाजक द्वारा निर्मित चतुर्भुज का एक अन्तः कोण 900का है। इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है किㄥ1+ ㄥ8=900अर्थात दूसरा अन्तः कोण भी 900होगा |
चूँकि चतुर्भुज की चारों भुजाएं समान नहीं है ,केवल सम्मुख भुजाएं समान है तथा सभी अंतः कोण समकोण है ,अन्तः समद्विभाजक द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक आयत होगा।
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प्रश्न 3- ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है , जिसमे AB =AC है | AD बहिष्कोण PAC को समद्विभाजित करता है , और CD||BA है | सिद्ध कीजिये कि –
(i)ㄥDAC = ㄥBCA (ii) क्या ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है ?
हल :- चित्र में, ΔABC में ,
AB=AC
ㄥ1=ㄥ2, (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
AD,ㄥPAC का समद्विभाजक है।
∴ ㄥ3=ㄥ4
CD||BA तथा AC तिर्यक रेखा है।
∴ (ㄥ3+ㄥ4)=(ㄥ2+ㄥ5), (एकान्तर कोण )
⇒ ㄥ4+ㄥ4=ㄥ2+ㄥ1
(∵ CD||BA तथा BC तिर्यक रेखा है।, ∴ㄥ1=ㄥ5 एकान्तर कोण∵ㄥ3=ㄥ4,ㄥ1=ㄥ2)
⇒ 2ㄥ4=ㄥ2+ㄥ2
⇒ 2ㄥ4=2ㄥ2
⇒ ㄥ4=ㄥ2 ________(1)
⇒ ㄥDAC=ㄥBCA. सिद्ध हुआ।
(ii) ㄥ3+ㄥ4+ㄥ6=1800, (एक ही बिंदु पर ,एक ही रेखा पर बने कोण )
तथा ㄥ1+ㄥ2+ㄥ6=1800, (ΔABC के अन्तः कोणों का योग )
अतः , ㄥ3+ㄥ4+ㄥ6=ㄥ1+ㄥ2+ㄥ6
⇒ ㄥ3+ㄥ4= ㄥ1+ㄥ2
⇒ ㄥ3=ㄥ1, [∵ㄥ4=ㄥ2 समी(1) ]
परन्तु ये संगत कोण है।
∴ AD||BC
अतःロ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
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प्रश्न 4- ABCD समान्तर चतुर्भुज है | तथा AP और CQ शीर्ष A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लंब है तो सिद्ध कीजिए कि –
(i)ΔAPB ≅ΔCQD (ii)AP =CQ
हल :-चित्र में , ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB ||CD तथा BD तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥ1=ㄥ2, (एकान्तर कोण ) _______(1)
अब ,ΔAPB और ∆CQD में ,
ㄥ1=ㄥ2, (समी (1)से )
ㄥAPB=ㄥCQD , (प्रत्येक 900)
तथा AB=CD, (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं )
अंतः , ΔAPB ≅ΔCQD में, (AAS सर्वांगसमता ) सिद्ध हुआ।
⇒ AP=CQ, (C.P.C.T.से) सिद्ध हुआ |
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प्रश्न 5 – ABCD एक आयत है जिसमे विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है | तो सिद्ध कीजिये कि
(i)ABCD एक वर्ग है |
(ii)विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है |
हल :- आयत ABCD में विकर्ण AC ,ㄥA और ㄥC को समद्विभाजित करता है।
∴ ㄥDAC=ㄥCAB
तथा ㄥDCA=ㄥACB
ΔACD औरΔABC में ,
ㄥDAC=ㄥCAB
AC=AC
ㄥDCA=ㄥACB
∴ ΔACD ≅ΔABC, (ASA सर्वांगसमता )
अंतः AD=AB , (C.P.C.T.)
परन्तु, AB=DC , (∵ABCD आयत है )
∴ AB=AD=DC=BC, (∵AD=BC)
अंतः ABCD एक वर्ग है। सिद्ध हुआ
(प्रत्येक भुजा बराबर ,प्रत्येक कोण900)
(ii) ∵ AD=DC
⇒ ㄥABD=ㄥCBD, ( बराबर भुजाओ का सम्मुख कोण )
इसी प्रकार,
ㄥADB=ㄥCDB
अंतः विकर्ण BD ककोणों B एवं D को समद्विभाजित करता है।
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प्रश्न 6- ABC और DEF इस प्रकार है कि AB और BC क्रमशः DE और EF के बराबर और समान्तर है , सिद्ध कीजिए कि AC और DF बराबर और समान्तर है |
हल :-∵ AB||DE तथा BC||EF
अतः चित्र से स्पष्ट है कि A ,B तथा C एवं D ,E तथा F संरेख होंगे।
अब , AB=DE
तथा BC=EF, (दत्त )
∴ AB+BC=DE+EF
⇒ AC=DF
तथा AC||DF, (∵ACFD एक समांतर चतुर्भुज है )सिद्ध हुआ।
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प्रश्न 1- समलंब चतुर्भुज ABCD की भुजा AD का मध्य बिंदु E तथा AB||DC है | बिंदु E से होकर AB के समान्तर खींची गयी रेखा BC को F पर मिलती है | सिद्ध कीजिये कि F रेखाखण्ड BC का मध्य बिंदु है |
हल :- समलंब चतुर्भुज ABCD में ,
AB||DC तथा AE=ED एवं EF||AB
रचना – BD को मिलाया
ΔADB में ,
E,AD का मध्य बिंदु है तथा
EG||AB, (∵EF||AB)
अतः,G,BD का मध्य बिंदु होगा।
अब,ΔBCD में ,
G,BD का मध्य बिंदु है
तथा GE||CD, (∵EF||AB तथा AB||CD)
अतः F, BC का मध्य बिंदु होगा।
(किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी आधी होती है। )
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प्रश्न 2 – ABCD एक समचतुर्भुज है और P,Q,R,S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिंदु है | दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है |
हल :- दिया है – ABCD एक समचतुर्भुज है। P,Q,R,Sक्रमशः AB,BC,CDतथा AD के मध्य बिंदु है।
रचना -को मिलाया।
चतुर्भुज PQRS को आयत सिद्ध करने हेतु यह सिद्ध करना पर्याप्त होगा कि यह एक समान्तर ,चतुर्भुज है जिसका एक कोण समकोण है।
ΔABC में P तथा Q भुजाओं ABतथा BC के मध्य बिंदु है।
अतः PQ||AC तथा
PQ=12AC ___________(1)
ΔADC में ,R तथा S क्रमशः CD एवं AD के मध्य बिंदु है।
∴ RS||AC तथा RS=12AC ___________(2)
अतः समी (1) और (2)से ,
PQ||RS तथा PQ=RS
इस प्रकारPQRS एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर है
अतः चतुर्भुजPQRS एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
अब, ABCD एक समचतुर्भुज है।
⇒ AB=BC
⇒ 12AB=12BC
⇒ PB=BQ __________(3)
अब, ΔPBQ
PB=BQ
⇒ ㄥ1=ㄥ2, __________(4)
पुनः,ABCD एक समचतुर्भुज है।
⇒ AB=BC=CD=AD
⇒ AB=BC=CD=AD
⇒ 12AB=12BC,12CD=12AD
⇒ AP=CQ ,CR=AS __________(5)
ΔAPS ΔCQR
AP=CQ, [समी.(5)]
AS=CR, [समी.(5)]
PS=QR , (PQRS एक समांतर चतुर्भुज है )
∴ ΔAPS≅ΔCQR , (SSSसर्वांगसमता )
⇒ ㄥ3=ㄥ4, (C.P.C.T.) _________(6)
अब ㄥ2+ㄥSPQ+ㄥ3=1800
तथा ㄥ1+ㄥPQR+ㄥ4=1800
∴ ㄥ2+ㄥSPQ+ㄥ3=ㄥ1+ㄥPQR+ㄥ4
⇒ ㄥSPQ=ㄥPQR, [समी (4)एवं (6) से। …. (7)]
अब ,चूँकि समांतर रेखाओं SP तथा RQ को तिर्यक रेखा PQ प्रतिच्छेद करती है।
∴ ㄥSPQ+ㄥPQR=1800, (एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ ㄥSPQ+ㄥSPQ=1800 [समी (7)]
⇒ 2ㄥSPQ=1800
⇒ ㄥSPQ=900
अतः PQRS एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक कोण ㄥSPQ=900
∴ PQRS एक आयत है।
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प्रश्न 3 – ABCD एक आयत है, जिसमे P,Q,R और S क्रमशः भुजाओं AB ,BC ,CD और DA के मध्य बिंदु है | दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS समचतुर्भुज है |
हल :- ABCD एक आयत है।
AB ,BC ,CD ,DA के मध्य बिंदु P ,Q ,R ,S है।
AC और BD को मिलाया।
ΔABC में ,
AB का मध्य बिन्दु P तथा BC का मध्य बिंदु Q है।
∴ PQ||AC तथा
PQ =1 2 AC __________(1)
इसी प्रकार ∆ACD में
CD का मध्य बिंदु R तथा AD का मध्य बिंदु S है।
RS||AC तथा
RS=12AC ___________(2)
समी (1) और (2) से ,
PQ=RS
इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि ,
RQ=12BD PS=12BD
∴ RQ=PS
परन्तु आयत के विकर्ण बराबर होते है।
AC=BD
⇒ 12AC=12BD
⇒ PQ=PS
इसी प्रकार PQ=RS=PS=RQ
∴ चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है। सिद्ध हुआ
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प्रश्न 4 – ABCD एक चतुर्भुज है जिसमे P,Q,R और S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिंदु है AC उसका एक विकर्ण है | दर्शाइए कि –
- SR||AC और SR = 1 2 AC है |
- PQ =SR है |
- PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है |
हल :- P,Q,R,S चतुर्भुज ABCD भुजाओं AB,BC,CD तथा DA के मध्य बिंदु है
AC चतुर्भुजABCD का विकर्ण
(i) ΔACD में ,
S तथा R क्रमशः भुजाओ AD तथा AD के मध्य बिंदु है। अतः
SR||AC _____(1)
तथा SR= 12AC ______(2) सिद्ध हुआ।
(ii) ΔABC में ,
P तथा Q भुजाओ AB तथाBC के मध्य बिंदु है। अतः ,
PQ||AC _______(3)
तथा PQ=12AC ________(4)
∴ समी (2)और(4) से ,
PQ=SR ________(5) सिद्ध हुआ।
(iii) समी(i) और(iii) से ,
PQ||SR तथा समी (5) से
PQ=SR
चतुर्भुज PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। सिद्ध हुआ।