CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 ज्यामितीय रचनाएँ are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 13 ज्यामितीय रचनाएँ
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प्रश्न 1 – नीचे कुछ त्रिभुजो की भुजाओं और कोणों की माप दी गई है इनसे त्रिभुजो की रचना कीजिए |
| क्र. | त्रिभुज | दी गयी मापें | ||
| (i) (ii) (iii) | ΔDEF ΔPQR ΔABC | DE =4.5 cm. ㄥQ =30० ㄥB =60० | EF =5.5 cm. ㄥR =30० BC =5 cm. | DF =4 cm. QR =4.7 AB +AC =8 cm. |
हल :-(i) दिया है – DE =4.5 सेमी ,EF =5. 5 सेमी ,DF =4 सेमी
रचना के पद –
(1) एक रेखाखण्ड DE =4 .5 सेमी खींचा।
(2) D से 4 सेमी त्रिज्या का और E से 5.5 सेमी का त्रिज्या का चाप खींचा।
(3) दोनों चापो के प्रतिच्छेद बिंदु F को D तथा E से मिया। ΔDEF अभीष्ट त्रिभुज है।
(ii) दिया है-ㄥQ =30 ० ,ㄥR =30 ० ,QR =4.7सेमी
रचना के पद –
(1) QR =4. 7 सेमी खींचा।
(2) बिंदु Q पर 30 ० तथा R पर 30 ० के कोण बनाए।
(3)दोनों कोण बनाने वाली किरणे बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है। ΔPQR अभीष्ट त्रिभुज है।
(iii ) दिया है -ㄥB =60 ० BC =5 cm AB +AC =8 cm
रचना के पद –
(1) BC =5 सेमी खींचा।
(2)ㄥCBX =60 ० का कोण बनाये।
(3) किरण BX पर 8 सेमी ,(AB +AC )का चाप खींचा जो उसे D पर प्रतिच्छेद करता है।
(4)CD को मिलाया।
(5)CD का लंब समद्विभाजक l खींचा जो BD को A पर तथा CD को E पर प्रतिच्छेद करता है।
(6)AC को मिलाया। ΔABC अभीष्ट त्रिभुज है।
[कारण – AD =AC ,क्योंकि ,
ΔAED ≅ΔAEC
अतः ,AB +AC =AB +AD ]
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प्रश्न 2 – एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 4 सेमी एवं कर्ण और दूसरी भुजा का योग 8 सेमी हो |
हल :-
माना अभीष्ट त्रिभुज PQR है जिसका आधार QR =4 सेमी तथा कर्ण PR है।
∴ ㄥQ =90 ० होगा।
PR +PQ =8 सेमी
रचना के पद –
(i) QR =4 सेमी खींचा।
(ii) ㄥQ =90 ० निर्मित किया।
(iii) किरण QX पर Q को केंद्र मानकर 8 सेमी =(PR +PQ )का चाप खींचा जो उसे S पर प्रतिच्छेद करता है।
(iv) SR को मिलाया
(v) ㄥQSR के तुल्य ㄥSRP की रचना की।
(v) ΔPQR समकोण त्रिभुज है।
[कारण PS =PR ,क्योंकि ΔPRS में ㄥPRS =ㄥPSR अतः बराबर कोणों की सम्मुख भुजाये ∴QP +PS =QP +PR =8 सेमी ]
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प्रश्न 3 – एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें कर QR = 7 cm. ,ㄥQ =45० और PQ -PR =2 सेमी हो|
हल :-
दिया है-QR =7 सेमी ,ㄥQ =45 ०
PQ -PR =2 सेमी
रचना के पद –
(i) QR =7 सेमी खींचा।
(ii) Q पर ㄥXQR =45 ० बनाया।
(iii) QX पर एक बिंदु D इस प्रकार लिया कि ,QD =2 सेमी (PQ -PR )
(iv) RD मिलाया।
(v) RD का लम्ब समद्विभाजक खींचा ,जो QX को P पर प्रतिच्छेद करता है।
(vi) PR को मिलाया
ΔPQR अभीष्ट त्रिभुज है।
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प्रश्न 4 – एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिये जिसमे ㄥXYZ =50० ,YZ =5 cm और XZ-XY =2.5 cm हो |
हल :-प्रश्न 3 की तरह रचना कीजिये
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प्रश्न 5 – एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमे AB +BC +CA =13 cm एवं ㄥB =45० ,ㄥC =70० हो |
हल :-
दिया है – AB +BC +CA =13 सेमी
ㄥB =45 ० ,ㄥC =70 ०
रचना के पद –
(i) रेखाखण्ड PQ =13 (AB +BC +CA )खींचा।
(ii) बिन्दु P पर दिए गए कोण ㄥBके तुल्य 45 ० का कोण बनाते हुए उसका अर्द्धक खींचा।
(iii) बिन्दु Q पर दिए गए कोण ㄥC के तुल्य70 ० का कोण बनाते हुए उसका अर्द्धक खींचा।
दोनों अर्धक बिंदु A पर प्रतिच्छेद करते है।
(iv) अब ,PA और QA के लम्ब समद्विभाजक l और m खींचे जो रेखाखण्ड PQ को B तथा
C पर प्रतिच्छेद करते है।
(v) AB और AC को मिलाया।
∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
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प्रश्न 1 -एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए ,यदि AD=4 सेमी ,AB =6 सेमी और
ㄥA =65० हो |
हल :-
समान्तर चतुर्भुज ABCD में ,AD =4 सेमी तथा AB =6 सेमी एवं ㄥA =65 ०
चूँकि चतुर्भुज समान्तर है ,
∴ BC =AD =4 सेमी तथा CD =AB =6 सेमी
रचना के पद –
(i) AB =6 सेमी खींचा।
(ii) ㄥA =65 ० निर्मित किया।
(iii) A को केंद्र मानकर 4 सेमी का एक चाप खिंचा जो ㄥA बनाने वाली किरण को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है।
(iv) D को केंद्र मानकर 6 सेमी का और B को केंद्र मानकर 4 सेमी का चाप खींचा।
(v) दोनों चाप C पर प्रतिच्छेद करते है। BC तथा CD को मिलाया।
ABCD अभीष्ट समांतर चतुर्भुज है।
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प्रश्न 2 – एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB =4 cm ,AD =3cm और विकर्ण AC =4.5 cm हो
हल :- रचना के पद –
(i) ABC की रचना की जिसमें AB =4 सेमी ,BC =3 सेमी तथा AC =4.5 सेमी।
(ii) A को केंद्र मानकर 3 सेमी का तथा C को मानकर केंद्र मानकर 4 सेमी का चाप खींचा।
(iii) दोनों चाप D पर प्रतिच्छेद करते है। AD तथा CD को मिलाया।
चतुर्भुज ABCD अभीष्ट समांतर चतुर्भुज है।
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प्रश्न 3 – एक आयत की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 3 सेमी एवं विकर्ण 5 सेमी हो |
हल :- माना आयत ABCD है। तब ,
AB =3 सेमी, AC =5 सेमी तथा ㄥB =90 ०
CD =AB =3 सेमी तथा AD =BC होगा।
रचना के पद –
(i) ABC की रचना की जिसमें
AB =3 सेमी ,ㄥB =90 ० ,AC =5 सेमी।
(ii) C को केंद्र मानकर 3 सेमी का तथा A को केंद्र मानकर BC की लम्बाई के तुल्य चाप खींचा |
(iii ) दोनों चाप D पर प्रतिच्छेद करते है। AD तथा CD को मिलाया। ABCD अभीष्ट आयत है।
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प्रश्न 4 – एक समचतुर्भुज का रचना कीजिये जिसके दो विकर्ण क्रमशः 4.5 सेमी और 6 सेमी है |
हल :- समचतुर्भुज के विकर्ण एक – दूसरे पर लम्ब समद्विभाजित होते है। इस गुण का उपयोग इस रचना में किया जायेगा।
समचतुर्भुज ABCD में –
प्रथम विकर्ण AC =4.5 सेमी तथा द्वितीय विकर्ण BD =6 सेमी।
रचना के पद –
(i ) AC =4.5 सेमी खींचा।
(ii) AC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो उसे O पर प्रतिच्छेद करता है।
(iii) O को केंद्र मानकर तथा 6 2 =3 सेमी त्रिज्या लेकर लम्ब – समद्विभाजक पर
AC के दोनों ओर चाप खींचे जो उसे बिन्दुओ B तथा D पर प्रतिच्छेद करते है।
(iv) BA ,AD ,DC तथा CB को मिलाया। ABCD अभीष्ट चतुर्भुज है।
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प्रश्न 5 – एक समलम्ब चतुर्भुज की रचना कीजिए जिसमें AB||CD ,AB =5 सेमी ,BC =3 सेमी ,AD =3.5 सेमी और समान्तर चतुर्भुज के बीच की दूरी 2.5 सेमी हो |
हल :-
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में , AB =5 सेमी ,BC =3 सेमी ,AD =3.5 सेमी और समांतर भुजाओं के बीच की दूरी =2.5
सेमी हो।
रचना करनी है :समलम्ब चतुर्भुज ABCD की
रचना के पद :
(i)रेखाखण्ड AB =5 सेमी खींचा।
(ii )बिन्दु B पर ㄥABY =90 ० बनाया
(iii) किरण BY पर बिंदु P इस प्रकार लिया ताकि BP =2.5 सेमी |
(iv ) बिंदु P पर ㄥBPQ =90 ० बनाया।
(v) बिंदु P से PS || AB खींचा।
(vi) B को केंद्र मानकर BC =3 सेमी का चाप खींचा जो PS को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है।
(vii) A को केंद्र मानकर AD =3.5 सेमी का चाप खींचा जो PQ को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः ABCD एक अभीष्ट समलम्ब चतुर्भुज है।
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प्रश्न 1 – एक चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB =5 सेमी ,BC =6 सेमी ,CD =7 सेमी ,तथा ㄥB =ㄥC =90 ० | फिर AB को एक भुजा मानकर ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जो क्षेत्रफल में ,चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर हो |
हल :-
दिया है : ⛊ABCD में ,AB =5 सेमी ,BC =6 सेमी ,CD =7 सेमी ,ㄥB =ㄥC =90 ० ,
रचना करनी है : बराबर क्षेत्रफल वाले एक त्रिभुज व चतुर्भुज की।
रचना के पद :
(i) किरण BX खींचा ,BX पर रेखाखण्ड BC =6 सेमी लिया।
(ii) बिंदु B व C के किरण BY तथा CZ खींचा ,जहा BY丄BC और CZ 丄BC .
(iii) किरण BY पर B से 5 सेमी का चाप काटकर बिंदु A पर प्राप्त किया।
(iv) किरण CZ पर C से 7 सेमी का चाप काटकर बिंदु D प्राप्त किया।
(v)AD को मिलाया जिससे अभीष्ट चतुर्भुज ABCD प्राप्त हुआ।
(vi) AC को मिलाया ,D से DE || AC खींचा जो किरण BX को E पर काटती है।
(vii)ΔAEB अभीष्ट त्रिभुज है। जिसका क्षेत्रफल चतुर्भुज ABCD बराबर है।
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प्रश्न 2 एक समचतुर्भुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ 6 सेमी तथा एक कोण 60 ० का हो फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका क्षेत्रफल बनाए गए समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर हो |
हल :-समचतुर्भुज की भुजाएं – 6 सेमी तथा एक कोण 60 ०
रचना के पद –
(i) एक किरण AX खींची
(ii) इसमें AB =6 सेमी का चाप काटा।
(iii) बिंदु A पर 60 ० का एक कोण निर्मित किया।
(iv ) इस कोण बनाने वाली किरण पर AD =6 सेमी का चाप काटा
(v ) D से 6 सेमी तथा B से 6 सेमी के चाप काटे।
(vi) इन चापो के प्रतिच्छेद बिंदु C को B तथा D से मिलाया। चतुर्भुज ABCD दिया गया समचतुर्भुज है।
(vii) BD को मिलाया
(viii) C से BD के समान्तर रेखा खींची जो AX को E पर प्रतिच्छेद करती है।
(ix) DE को मिलाया।
ΔADE अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल समचतुर्भुज ABCD के तुल्य है।
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प्रश्न 3 एक समद्विबाहु की रचना कीजिए ,जिसका आधार 6 सेमी तथा आधार पर कोण 70 ० हो ,तो इस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का समान्तर चतुर्भुज एवं आयत की रचना कीजिए |
हल :-
दिया है :समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 6 सेमी आधार पर कोण =70 ०
चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है। अतः बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होंगे। फलस्वरूप आधार के दोनों कोण 70 ० के होंगे।
रचना के पद –
(i) AB =6 सेमी खींचा।
(ii) A तथा B पर 70 ० के कोण खींचे जो परस्पर C बिंदु पर प्रतिच्छेद करते है।
(iii) C से AB के समान्तर किरण CY खींची।
(iv) AB का लम्ब समद्विभाजक PQ खींची जो AB को O पर प्रतिच्छेद करता है।
(v) O से AC के समान्तर रेखा खींची जो CY को D पर प्रतिच्छेद करती है। चतुर्भुज AODC अभीष्ट समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल ΔABC के तुल्य है प्राप्त आयत OBDC अभीष्ट आयत है
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प्रश्न 4 – एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें PQ =8 सेमी ,PR =6 सेमी ,ㄥQPR =65 ० हो ,इस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल के समान्तर चतुर्भुज की रचना कीजिए |
हल :- सर्वप्रथम ΔPQR रचना कीजिए जिसमें PQ =8 सेमी ,ㄥQPR =65 ० तथा PR =6 सेमी अब ,
प्रश्न (3 ) की रचना -विधि का उपयोग करते हुए अभीष्ट समांतर चतुर्भुज की रचना कीजिए।
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प्रश्न 1- एक 2 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अंतर्गत समचतुर्भुज की रचना कीजिए |
हल :-
(i ) 2 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जिसका केंद्र O है।
(ii) O को परिधि से मिलाया जिसमे बिंदु A प्राप्त हुआ।
(iii) त्रिज्या OA के बिंदु पर ㄥAOB =360 4 =90 ०
(iv) AB चाप के तुल्य त्रिज्या लेकर बिंदु B को केंद्र मानकर चाप खींचा जिसमे वृत्त की परिधि पर बिंदु C प्राप्त हुआ।
(v) इसी प्रकार C को केंद्र लेकर उसी त्रिज्या का चाप काटने पर D प्राप्त हुआ।
(vi) AB ,BC, CD ,DA को मिलाया।
ABCD अभीष्ट अंतर्गत समचतुर्भुज है।
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प्रश्न 2- एक 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अंतर्गत समअष्ट्भुज की रचना कीजिए |
हल :-
रचना के पद :
(i) 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(ii) वृत्त की परिधि पर एक बिंदु A लिया तथा इसे वृत्त के केंद्र O से मिलाया।
(iii) O पर OA के साथ 45 ० (360 ० 8 =45 ० )का कोण बनाती हुई OB रेखाखंड खींचा।
(iv) A से प्रारम्भ करके AB के बराबर त्रिज्या लेकर परिधि का आठ बराबर किया माना की ये बिंदु
A ,B ,C ,D ,E ,F,G व H है।
(v) AB ,BC ,CD ,EF ,FG ,GH और HA को मिलाया।
(vi) तब ABCDEFGH एक अभीष्ट अंतर्गत सम -अष्टभुज है।
(v) AB ,BC ,CD ,EF ,FG ,GH और HA को मिलाया।
(vi) तब ABCDEFGH एक अभीष्ट अंतर्गत समअष्टभुज है।
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प्रश्न 3 – एक 2.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बहिर्गत सम पंचभुज की रचना कीजिये।
हल :-
रचना के पद :
(i) 2 .5 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा जिसका केंद्र O है।
(ii)O को वृत्त की परिधि पर स्थित एक बिंदु A से मिलाया
(iii)बिंदु O पर OA के साथ 72 ० (360 ० 5 =72 ० )का कोण बनाती हुई रेखा OB खींची।
(iv) A से प्रारम्भ कर AB के तुल्य त्रिज्या लेकर परिधि के 5 बराबर भाग किए। माना ये बिंदु A ,B ,C ,D ,E है।
(v) इन बिंदुओं को केंद्र O से मिलाया।
(vi) OA ,OB ,OC ,OD तथा OE पर क्रमशः लंबवत रेखाएं PT ,PQ ,QR ,RS तथा ST खींची।
ये स्पर्श रेखाएं अभीष्ट समपंचभुज PQRST बनाती है ,जो कि वृत्त के बहिर्गत है।
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प्रश्न 4 – एक 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बहिर्गत सम अष्टभुज की रचना कीजिए।
हल :-
दिया है : वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है।
रचना करनी है : वृत्त के परिगत एक समअषट्भुज की।
रचना के पद –
(i) 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(ii)वृत्त की परिधि पर एक बिंदु A लिया तथा इसे वृत्त के केंद्र O से मिलाया
(iii) O पर OA के साथ 45 ० (360 ० 8 =45 ० ) का कोण बनाती हुई OB रेखाखंड खींचा।
(iv) A से प्रारम्भ करके AB के बराबर त्रिज्या लेकर परिधि का आठ बराबर भाग किया। माना कि ये बिंदु A ,B ,C ,D ,E ,F ,G और H है।
(v) बिंदु A ,B ,C ,D ,E ,F ,G और H है। पर स्पर्श रेखाओं की रचना की। ये स्पर्श रेखाएं समष्टभुज PQRSTUVW बनाती है।
(vi) तब PQRSTUVW अभीष्ट परिगत समाष्टभुज है।