CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवं सर्वसमिकाएँ are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवं सर्वसमिकाएँ
Page No. – 156
प्रश्न 1 – यदि समकोण त्रिभुज ABC में ㄥB समकोण है तो निम्नलिखित में sinA ,cosC,tanA का मान ज्ञात कीजिए जबकि –
(i) AC = 5 ,AB = 3 ,BC = 4
(ii) AB =12 ,BC =5 ,AC =13
(iii) AB =5 ,AC =13 ,BC =12
(iv) BC =12 ,AB =9 ,AC =15
हल :-
(i) AC=5,AB=3,BC=4
∴ sinA=लंब BC कर्ण AC =4 5
cosC =आधार BC कर्ण AC =4 5
tanA =लंब BC आधार AB =4 3 . उत्तर
(ii) AB=12,BC=5,AC=13
∴ sinA=लंब BC कर्ण AC =513
cosC=आधार BC कर्ण AC =5 13
tanA=लंब BC आधार AB =5 12 . उत्तर
(iii) AB=5,AC=13,BC=12
∴ sinA= लंब BC कर्ण AC =1213
cosC =आधार BC कर्ण AC =12 13
tanA =लंब BC आधार AB =12 5 . उत्तर
(iv) BC=12,AB=9,AC=15
∴ sinA= लंब BC कर्ण AC =1215=45
cosC =आधार BC कर्ण AC =12 15 =45
tanA =लंब BC आधार AB =12 9 =43. उत्तर
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प्रश्न 1 – निम्नलिखित में कोई एक त्रिकोणमितीय अनुपात दिया गया है। शेष त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए –
(i) tan = 34 (ii) sin = 513 (iii) cos=13
(iv) cot=1 (v)cosecA = 54 (vi)sec=2
(vii)cosecA =10.
हल :- (i)tan =3 4 .
हम जानते है ,
1+tan2=sec2
∴ 1+(34)2=sec2
⇒ sec2=1+916=16+916=2516
∴ sec=54.
cos=1sec=154=45.
sin2=1-cos2 से ,
=1-(45)2=1-1625
=25-1625=925
∴ sin=925=35
cosec=1sin=135=53.
tan=sincos=3545=34
cot=1tan=134=43.
(ii) sin=513
∴ cosec=1sin=1513=135.
cos2=1-sin2
=1-(513)2=1-25169
= 169-25169=144169
∴ cos=1213.
∴ sec=1cos=11213=1312
tan=sincos=5131213=512.
∴ cot=1tan=1512=125.
(iii) cos=13
∴ sec=3
sin=1-cos2
=1-19=9-19 =83=223.
tan=sincos=22313=22.
∴ cosec=1sin=1223=322
=324.
(iv) cot=1
∴ tan=1cot=1.
1+tan2=sec2
1+1=sec2
∴ sec=2
cos=12
sin=1-cos2
sin=1-12=12
∴ cosec=2.
(v) cosecA=54
∴ sinA=45
∴ cosA=1-sin2A
= 1-1625=25-1625
=925=35
∴ secA=53
tanA=sinAcosA=4535=43
∴ cotA=34.
(vi) sec=2
∴ cos=12
sinB=1-cos2
sin=1-14= 4-34=32
∴ cosec=23
tan=sincos=3212=3
∴ cot=13.
(vii) cosecA=10
∴ sinA=110
cosA=1-sin2A
=1-110 = 10-110
= 910 = 310
∴ secA=103
tanA=sinAcosA
=110310=13
cotA=3.
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प्रश्न 2 -यदि cot=21 20 हो तो sincos का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- माना Δ ABC में ㄥB समकोण है तथा ㄥA =
तब cos =21 20
∴ आधार AB =21 तथा लम्ब BC =20
∴ पाइथागोरस प्रमेय से ,
AB 2 +BC2=AC2
⇒ 21 2 +202=AC2
⇒ 441+400=AC2
⇒ 841=AC2
∴ AC=841=29
sin=BCAC=2029
cos=ABAC=2129
∴ sincos=20292129
=420841.
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प्रश्न 3 – यदि cosA =4 5 हो। तो cot A -sin A 2 tan A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- cosA=45
∴ secA=54
अब ,1+tan 2 A =sec 2 A से ,
1+tan2A=(54)2
⇒ tan2A=2516-1
=25-1616=916
∴ tanA=34
∴ cotA=43
cosA=45
∴ sinA=1-cos2A
=1-(45)2 = 1-1625
=25-1625 = 925 =35
अब , cotA-sinA2tanA=43-352.34
=20-91532=111523=2245. उत्तर
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प्रश्न 4 – यदि sec=5 3 हो ,तो tan -sin 1 +tan .sin का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- sec =5 3
∴ cos=35
sin=1-cos2
= 1-(35)2
=1-925 = 25-925
=1625=45
∴ tan=sincos
4535=43
अतः , tan-sin1+tan.sin
=43–451+43.45=20-12151+1615
= 81515+1615=8151531=831. उत्तर
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प्रश्न 5 – यदि sinA =1 3 हो,तो cosA ,cosecA +tanA ,secA का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- sinA=13
∴ cosA=1-sin2A
=1-19=9-19
=83=223
sinA=13
∴ cosecA=3
tanA=sinAcosA
=13223=122
∴ cosecA+tanA
=3+122=62+122
=(62+1)2222
=(62+1)24
cosA=223
∴ secA=322=324 उत्तर
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प्रश्न 6- किसी समकोण त्रिभुज ABC में ㄥC समकोण हो तथा tanA =1 3 हो ,तो sinA cosB +cosA sinB का मान ज्ञात कीजिये।
हल :-
ΔABC में ㄥC समकोण है।
tanA =1 3
∴ लम्ब BC =1 तथा आधार AC =3
∴ पाइथागोरस प्रमेय से ,
AC2+BC2=AB2
⇒ (3) 2+12=AB2
⇒ 3+1=AB2
⇒ 4=AB2
∴ sinA=BCAB=12
cosB=BCAB=12
cosA=ACAB=32
sinB=ACAB=32
∴ sinAcosB+cosAsinB
=12.12+32.32
=14+34
=1+34=44=1. उत्तर
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प्रश्न 7 -यदि cotA =३ 4 हो तो sinA +cosA sinA -cosA का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- cotA=34
⇒ cosAsinA=34
⇒ sinAcosA=43 ———–(1)
समी (1) के दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर ,
sinAcosA+1=43+1
⇒ sinA+cosAcosA=4+33=73 —————(2)
पुनः समी (1) के दोनों पक्षों में 1 घटाने पर ,
sinAcosA-1=43-1
⇒ sinA-cosAcosA=4-33=13————–(3)
समी (2)को समी (3)से भाग देने पर ,
sinA+cosAcosAsinA-cosAcosA=7313
⇒ sinA+cosAsinA-cosA=7. उत्तर
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प्रश्न 8 -यदि sin =4 5 हो ,तो 4 tan -5 cos sec +4 cot का मान ज्ञात कीजिए।
हल :-
माना ΔABC में ,ㄥB =90 ० तथा ㄥC =तब sin =4 5
∴ sin =लम्ब कर्ण से ,
लम्ब AB =4 ;कर्ण AC =5
अब ,ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से ,
AB2+BC2=AC2
⇒ 42+BC2=AC2
⇒ BC2=25-16=9
∴ BC=3
अतः tan =लम्ब आधार =AB BC
=4 3
∴ cot=34
cos=आधारकर्ण=BCAC=35
sec=53
4tan-5cossec+4 cot
=4.43-5.3553+4.34=16-935+93
=714=12. उत्तर
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प्रश्न 1 . निम्न में से सही विकल्प चुनिए –
(i) 1 –tan24501+tan2450
(a) 1 (b) tan900 (c) 0 (d) sin450
हल :- 1 –tan24501+tan2450
=1-(1)21+(1)2=02=0.
∴ उत्तर -(c)
(ii) 2 tan3001-tan2300=
- sin600 (b)sin300 (c) tan600 (d) cos600
हल :- 2 tan3001-tan2300
=2131-(13)2=231-13
=233-13=2332=3
= tan600.
∴ उत्तर -(c)
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प्रश्न 2 -निम्नलिखित त्रिकोणमितीय व्यंजको के मान ज्ञात कीजिये
(i)cos300cos450-sin300sin450
हल :- cos300cos450-sin300sin450
=32.12-12.12
=322-122=3-122
= 2(3-1)4 उत्तर
(ii) tan300sec450+tan600sec300.
हल :- tan300sec450+tan600sec300.
=13.2+3.23=23+2
= 2+ 233
=3(2+23)3=63+6. उत्तर
(iii) cosec300+cot450
हल :-cosec300+cot450
= 2 + 1 = 3.
(iv) cot600sec300-tan450
हल :- cot600sec300-tan450
=1323-1=132-33
=12-3=2+3(2-3)(2+3)
=2+34-3=2+3. उत्तर
(V) tan2 600+tan2450
हल :- tan2 600+tan2450
=(3)2+(1)2=3+1=4. उत्तर
(vi)cos300+sin6001+cos600+sin300
हल :- cos300+sin6001+cos600+sin300
= 32+321+12+12
= 2322+1+12=234=32. उत्तर
(vii)sin2450+cos2450tan2600
हल :- sin2450+cos2450tan2600
=(12)2+(12)2(3)2
=12+123=13. उत्तर
(viii) sin300-sin900+2 cos00tan300tan600
हल :- sin300-sin900+2 cos00tan300tan600
=12-1+2.113.3
=1-2+42=32. उत्तर
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प्रश्न 3 . जाँचिए सत्य या असत्य —
(i ) sin 30 ० cos 60 ० +cos 30 ० sin 60 ० =tan 90 ०
हल :- L.H.S. = sin 30 ० cos 60 ० +cos 30 ० sin 60 ०
=1212+3232
=14+34=1+34=44=1
=tan450=R.H.S. असत्य
(ii) 1-2sin2300=cos2600
हल :- L.H.S. 1-2sin2300
=1-2(12)2=1-2.14
=1-12=12
=cos2600=R.H.S. असत्य
(iii) 2cos2450-1=cos900.
हल :- L.H.S.=2cos2450-1
=2(12)2-1=2.12-1
=1-1=0
=cos900=R.H.S. सत्य
(iv) sin2450=1-cos2450.
हल :-sin2450=(12)2
=12. ————(1)
1-cos2450
=1-(12)2=1-12
=12 ————–(2)
समी (1) और (2) से
sin2450=1-cos2450. सत्य
(v) sin2600+cos2600=1.
हल :- L.H.S. sin2600+cos2600
=(32)2+(12)2
=34+14=3+14
=44=1=R.H.S. सत्य
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निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरण को के मान के लिए हल कीजिए ;जबकि 0 ० ० 90 ० —
1. sin=cos
हल :- चूँकि sin450=cos450=12
∴ sin=cos
तब, =450 . उत्तर
2. 2 cos=1
हल :- 2 cos=1
⇒ cos=12
⇒ cos=cos600
∴ =600. उत्तर
3. 2sin2=12
हल :- 2sin2=12
⇒ sin2=14
⇒ sin2=14
⇒ sin=12=sin300
∴ =300. उत्तर
4.3tan2-1=0
हल :- 3tan2-1=0
⇒ 3tan2=1
⇒ tan2=13=(13)2
⇒ tan=13=tan300
∴ =300. उत्तर
5. 2 sin=3
हल :- 2 sin=3
⇒ sin=32=sin600
∴ =600. उत्तर
6. tan=0
हल :- tan=0
tan=tan00
=00 उत्तर
7. 3cosec2=4
हल :-3cosec2=4
⇒ cosec2=43
⇒ cosec=23=cosec600
∴ =600. उत्तर
8. 2cos2=12
हल :- 2cos2=12
⇒ cos2=14=(12)2=cos2600
⇒ cos=cos600
∴ =600 उत्तर
9. 4sin2-3=0
हल :- 4sin2-3=0
⇒ 4sin2 = 3
⇒ sin2=34
⇒ sin2=(32)2
= sin2600
⇒ sin=sin600
∴ =600. उत्तर
10. 4sec2-1=3
हल :-4sec2-1=3
⇒ sec2=44=1
= (1)2=sec200
⇒ sec=sec00
∴ =00 उत्तर
11. cot2=3
हल :-cot2=3
⇒ cot=3
⇒ cot300
∴ =300 उत्तर