CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 सरल रेखा और कोण are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 सरल रेखा और कोण
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प्रश्न 1 -चित्र में ㄥPOR तथा ㄥQOR रेखीय युग्म निर्मित करते है | यदि x – y =80 0 हो तो x और y का मान ज्ञात कीजिए |
हल :- ㄥQOR= x
ㄥPOR= y
चूँकि दोनों कोण रेखीय युग्म निर्मित करते है ,अतः
x + y =180 ० …….(1)
दिया है , x – y =80 ० ……..(2)
समी (1) और (2) को जोड़ने पर
∴ x +y=180 ०
x – y =80 ०
___________ (जोड़ने पर )
2x=260
x = 130 ०
समी (1)से ,
x + y =180 ०
∴ 130 ० +y=180 ०
⇒ y =180 ० – 130 ० =50 ०
अतः x=130 ० , y =50 ० उत्तर
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प्रश्न 2 -दिए गए चित्र में रेखाएं PQ और RS बिंदु Oपर प्रतिच्छेद करती है | यदि ㄥPOR +ㄥQOT =700 और ㄥQOS= 400 है तो ㄥQOT तथा प्रतिवर्ती ㄥROT का मान ज्ञात कीजिए |
हल :- दिया गया है ,
ㄥPOR+ ㄥQOT =70 ० …….(1)
ㄥQOS= 40 ० ………(2 )
∵ ㄥPOR+ ㄥROT+ ㄥQOT= 180 ० ,
(एक ही बिंदु पर ,एक सरल रेखा पर निर्मित कोण )
∴ ㄥROT+ 70 ० =180 ० , [सेमी (1 ) से ]
⇒ ㄥROT= 180 ० – 70 ० =110 ०
चूँकि रेखाएं PQ और RS परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है।
अंतः ㄥPOR= ㄥQOS , (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ㄥPOR= 40 ० [सेमी। (2)]
अब ,चूँकि ㄥPOR+ㄥROT+ ㄥQOT=180 ०
∴ 40 ० +110 ० +ㄥQOT=180 ० , [∵ㄥQOT= 40 ० ㄥROT=110 ० ]
⇒ ㄥQOT+ 150 ० =180 ०
ㄥQOT= 180 ० -150 ०
ㄥQOT=3 0 ० उत्तर
अब प्रतिवर्ती
ㄥROT =ㄥPOR +ㄥPOQ +ㄥQOT
= 40 ० +180 ० +3 0 ०
= 250 ० उत्तर
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प्रश्न 3 -दिए गए चित्र में रेखाएं AB और LM बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है यदि ㄥNOB = 90 ० और x : y = 2 :3 है ,तो z का मान ज्ञात कीजिए |
हल :- ㄥNOB =90 ०
ㄥNOB तथा ㄥNOA रेखीय युग्म है।
∴ ㄥNOB +ㄥNOA=180 ०
⇒ 90 ० + ㄥNOA =180 ०
⇒ ㄥNOA =180 ० – 90 ० = 90 ०
∵ ㄥNOA= x + y
∴ x+y= 90 ०
∵ x:y=2:3 (दिया है )
∴ माना x=2p तथा y=3p
∴ 2p+3p= 90 ०
⇒ 5p= 90 ०
∴ p= 90 ० 5 =18 ०
अतः x=2p=2х18= 36 ०
y=3p
=3 х 18 ० = 54 ०
AB और LM दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ है।
∴ ㄥAOL=ㄥ BOM , (शीर्षाभिमुख कोण )
⇒ y=ㄥ BOM
⇒ 54 ० =ㄥ BOM
अब , ㄥAOL=ㄥ BOM = 180 ० , ( रेखीय युग्म)
∴ z + 54 ० = 180 ०
⇒ z= 180 ० – 54 ० = 126 ०
अंतः z= 126 ० उत्तर
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प्रश्न 4 -दी गयी आकृति में ㄥECD= ㄥEDC है तो सिद्ध कीजिए कि ㄥECA=ㄥEDB
हल :- ㄥECA+ㄥECD= 180 ० ______(1 )
( रेखीय युग्म )
तथा ㄥEDC+ㄥEDB= 180 ० _____(2)
(रेखीय युग्म )
समी (1) और (2 ) से ,
ㄥECA+ㄥECD=ㄥEDC+ㄥEDB
परंतु दिया है _ ㄥECD=ㄥEDC
∴ ㄥECA= ㄥEDB . सिद्ध हुआ
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प्रश्न 5 – दिए गए चित्र में यदि a+b=c+d है ,तो सिद्ध कीजिए कि LOM एक रेखा है |
हल :- a+b+c+d= 180 ० ,
दिया है , a+b=c+d
∴ a+b+a+b= 360 ०
⇒ 2(a+b)=360 ०
⇒ a+b=180 ०
अंतः a और b रेखीय युग्म निर्मित करते है।
∴ LOM एक रेखा है।
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प्रश्न 6 -दिए गए चित्र में AOB एक रेखा है | किरण OC ,रेखा AB पर लम्ब है | किरण OA और OC के बीच में एक अन्य किरण OD है | सिद्ध कीजिए कि ㄥCOD =1 /2 (ㄥBOD –ㄥAOD )
हल :- OC丄AB (दिया गया है )
∴ ㄥCOA=ㄥCOB=90 ०
ㄥAOD+ㄥCOD+ㄥCOB=180 ० ___________(1)
(एक ही बिंदु पर ,एक रेखा पर बने कोण )
⇒ ㄥAOD+ㄥCOD+90 ० = 180 ०
⇒ ㄥAOD+ㄥCOD= 180 ० -90 ० =90 ० ___________( 2 )
दाया पक्ष 1 2 (ㄥBOD-ㄥAOD)= 1 2 [(ㄥCOD+ㄥCOB)-ㄥAOD
=1 2 [180 ० -ㄥAOD-ㄥAOD], [ समी (1) से ]
=1 2 (180 ० -2ㄥAOD)
=90 ० -ㄥAOD
बाया पक्ष =ㄥCOD , [ सेमी (2)से ,ㄥCOD= 90 ० -ㄥAOD]
अंतः , ㄥCOD=1 2 (ㄥBOD-ㄥAOD). सिद्ध हुआ।
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प्रश्न 7 -यदि ㄥABC =640 और AB को बिंदु X तक बढ़ाया गया है | इस दी गयी जानकारी से आकृति खींचिए | यदि किरण BY ,ㄥCBX को समद्विभाजित करती है ,तो कोण ㄥABY और प्रतिवर्ती ㄥYBX के मान ज्ञात कीजिए |
हल :- ㄥABC=64 ०
BY,ㄥCBX को समद्विभाजित करती है।
∴ ㄥCBY=ㄥYBX
अब , ㄥYBX+ㄥCBY+ㄥABC= 180 ० , (एक ही बिंदु पर ,एक रेखा पर बने कोण )
⇒ ㄥYBX+ㄥYBX+ 64 ० = 180 ० , (∵ ㄥCBY=ㄥYBX तथाㄥABC=64 ० )
⇒ 2ㄥYBX=180 ० – 64 ० =116 ०
∴ ㄥYBX=58 ०
∴ ㄥABY=ㄥCBY+ㄥABC
=ㄥYBX+ 64 ०
=58 ० +64 ० =122 ०
अंतः ㄥABY= 122 ० तथा प्रत्यावर्ती ㄥYBX=58 ० उत्तर
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प्रश्न 1 -दिए गए चित्र में AB | | C D तथा EF एक तिर्यक रेखा है जो AB और CD को H और G पर प्रतिच्छेद करती है | तो x और y का मान ज्ञात कीजिए |
हल :-(i) ㄥCGE=2x
∴ ㄥDGH=2x, (शीर्षाभिमुख कोण )
ㄥDGH+ㄥGHB=180 ० , ( एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ 2x+3x=180 ०
⇒ 5x=180 ०
∴ x=36 ० .
ㄥAHF=ㄥGHB,
⇒ y=3x
= 3 36 ०
= 108 ० . उत्तर
(ii) चित्र में ,
4x- 23 ० +3x=180 ० , ( एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ 7x=180 ० + 23 ० =203 ०
∴ x=203 ० 7 = 29 ०
अंतः x= 29 ० . उत्तर
y=3x , (संगत कोण )
=3x х 29= 87 ० उत्तर
(iii) चित्रानुसार ,
2y+15 ० =3y- 10 ० (संगत कोण )
⇒ 3y-2y= 15 ० + 10 ०
⇒ y= 25 ० उत्तर
अब , x+2y+ 15 ० =180 ० , (रेखीय युग्म )
⇒ x+2 25 ० + 15 ० =180 ०
⇒ x+ 50 ० +15 ० = 180०
⇒ x= 180० – 65 ० = 115 ० उत्तर
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प्रश्न 2 – दिए गए चित्र में AB || CD ,CD || EF और y : z =3 : 7 है ,तो x का मान ज्ञात कीजिए |
हल :- y:z=3:7
∴ माना y=3p
z=7p
चित्र में ,y तथा ㄥDGH शीर्षाभिमुख कोण है।
∴ ㄥDGH=y
अब , ㄥDGH+ㄥGHF=180 ० ,
⇒ y+z= 180 ०
⇒ 3p+7p=180 ०
⇒ 10p= 180 ०
∴ p= 18०
अंतः , y=3p=3×18=54 ०
z=7p=7×18= 126 ०
अब , x+y= 180 ० , ( एक ही ओर के अंतः कोण )
∴ x= 180 ० -y
=180 ० – 54० = 126 ० उत्तर
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प्रश्न 3 – दिए गए चित्र में यदि AB || CD ,EF丄CD और ㄥGED =126 0 है, तो ㄥAGE ,ㄥGEF तथा ㄥFGE के मान ज्ञात कीजिए |
हल :- EF丄CD
∴ ㄥFED= 90 ० तथा ㄥGFE= 90 ०
ㄥGED= 126 ०
⇒ ㄥGEF+ㄥFED= 126 ०
⇒ ㄥGEF+ 90 ० = 126 ०
∴ ㄥGEF=126 ० – 90 ० =36 ० . उत्तर
AB || CD तथा GE तिर्यक रेखा है।
ㄥAGE=ㄥGED , (एकान्तर कोण)
= 126 ० उत्तर
ㄥAGE+ㄥFGE=180 ० , ( रेखीय युग्म)
⇒ 126 ० +ㄥFGE=180 ०
∴ ㄥFGE=180 ० – 126 ०
=54 ० . उत्तर
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प्रश्न 4 – दिए गए चित्र में यदि PQ|| ST ,ㄥPQR =110 0 और ㄥRST =130 0 है तो ㄥQRS का मान ज्ञात कीजिये
(संकेत – बिंदु R से गुजरने वाली ST के समांतर एक रेखा खींचिए |)
हल :- R से गुजरने वाली ST के समांतर एक रेखा MN खींची।
∵ PQ||ST तथा ST||MN
अंतः PQ || MN होंगी।
∵ ST|| MN
∴ ㄥTSR+ㄥSRM= 180 ० , (एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ 130 ० +ㄥSRM= 180 ०
⇒ ㄥSRM= 180 ० – 130 ० =50 ०
अब , PQ||MN
∴ ㄥPQR=ㄥQRM,
=ㄥQRS+ㄥSRM
⇒ 110 ० =ㄥQRS+50 ०
⇒ ㄥQRS= 110 ० – 50 ० = 60 ० . उत्तर
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प्रश्न 5 – दिए गए चित्र में यदि AB || CD ,ㄥAPQ =50 0 और ㄥPRD =127 0 है , तो x और y के मान ज्ञात कीजिए |
हल :- AB||CD तथा PQ तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥAPQ=ㄥPQR , (एकान्तर कोण )
⇒ 50 ० =ㄥPQR
∴ x= 50 ० . उत्तर
इसी प्रकार ,
ㄥAPR=ㄥPRD
⇒ 50 ० +y= 127 ०
⇒ y=127 ० – 50 ० = 77 ० उत्तर
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प्रश्न 6 – दिए गए चित्र में x और y के मान ज्ञात कीजिए | (संकेत l || m ,n || p )
हल :- l||m तथा n तिर्यक रेखा है।
∴ x= 80 ० , ( संगत कोण)
n||p तथा m तिर्यक रेखा है।
∴ 80 ० +y= 180 ० , (एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ y= 180 ० – 80 ० = 100 ० . उत्तर
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प्रश्न 7 – दिए गए चित्रों में x व y का मान ज्ञात कीजिए ? यहाँ AB || CD है |
हल :- (i) यहाँ , ㄥCDE=x तथा ㄥCDA=y
AB||CD तथा BE तिर्यक रेखा है.
∴ ㄥABD=ㄥCDE , (संगत कोण )
⇒ 59 ० =x
∴ x= 59 ० उत्तर
AB||CD तथाAD तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥA=ㄥCDA, (एकान्तर कोण )
⇒ 60 ० =y
∴ y= 60 ० उत्तर
(ii) ㄥBCD=ㄥECF , ( शीर्षाभिमुख कोण )
=105 ०
अब , ㄥBCA+ㄥBCD+x= 180 ० , (एक ही बिंदु पर , एक रेखा पर बने कोण )
अब , 35 ० + 105 ० +x= 180 ०
⇒ x=180 ० – 140 ० = 40 ० . उत्तर
अब , AB||CD तथा AC तिर्यक रेखा है।
y=x, ( संगत कोण )
= 40 ० उत्तर
(iii ) चित्र में , AB||CD तथा AC तिर्यक रेखा है।
120 ० =ㄥACD ( संगत कोण )
अब , y+ㄥACD= 180 ० , ( रेखीय युग्म)
⇒ y+ 120 ० = 180 ०
∴ y= 180 ० – 120 ०
y= 60 ० .
अब , AC||EF तथा DE तिर्यक रेखा है।
∴ y= (3x+6 ) ० , (संगत कोण )
⇒ 60 ० =3x+6
⇒ 3x=60 ० – 6 ० = 54 ०
⇒ x=54 ० 3 =18 ०
∴ x= 18 ० उत्तर
(iv) AB||CDतथा BC तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥACB=ㄥCBD, (एकान्तर कोण )
⇒ 65 ० =3x+ 5 ०
⇒ 3x= 65 ० -5 ० = 60 ०
∴ x= 60 ० 3 = 20 ० उत्तर
DC को E तक आगे बढ़ाया
∴ ㄥACE+ㄥACB+ㄥBCD= 180 ० , (एक ही बिंदु पर ,एक रेखा पर बने कोण )
⇒ ㄥACE+ 65 ० + 52 ० = 180 ०
⇒ ㄥACE = 180 ० -1170=630
अब , AB||CD तथा AC तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥBAC=ㄥACE (एकान्तर कोण )
⇒ y= 63 ० उत्तर
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प्रश्न 8 – निम्नलिखित चित्रों में AB || CD है तो x का मान ज्ञात कीजिए |
हल :- (i) E से जाने AB और CD के समांतर एक रेखा EF खींची।
AB||EF तथा AE तिर्यक है।
∴ ㄥBAE+ㄥAEF= 180 ० (एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ 104 ० +ㄥAEF= 180 ०
⇒ ㄥAEF= 180 ० – 104 ०
= 76 ०
इसी प्रकार ,
ㄥFEC+ㄥECD=180 ०
⇒ ㄥFEC+ 116 ० =180 ०
⇒ ㄥFEC= 180 ० – 116 ० = 64 ०
अब , x=ㄥAEF+ㄥFEC
= 76 ० + 64 ० = 140 ०
(ii ) E से जाने वाली AB के समांतर रेखा GE खींची जो CD भी समांतर होंगी।
AB||GE तथा AE तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥAEG=ㄥBAE , (एकान्तर कोण)
= 35 ०
इसी प्रकार ,
ㄥGEC=ㄥECD
= 65 ०
अब , x=ㄥAEG+ㄥGEC
= 35 ० + 65 ० = 100 ०
(iii) E से गुजरने वाली AB के समान्तर रेखा EFखींची। यह CD के भी समांतर होंगी।
AB||FE तथा BE तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥABE+ㄥBEF= 180 ० , ( एक ही ओर के एकान्तर कोण )
⇒ 35 ० +ㄥBEF= 180 ०
⇒ ㄥBEF= 180 ० -35 ०
= 145 ०
इसी प्रकार ,
ㄥCDE+ㄥDEF= 180 ०
⇒ 75 ० +ㄥDEF= 180 ०
⇒ ㄥDEF= 180 ० – 75 ० = 105 ०
∴ x = ㄥBEF+ㄥDEF
= 145 ० + 105 ०
= 250 ० उत्तर
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प्रश्न 9 – नीचे दी गई सारणी को पूरा कीजिये –
| क्र. | त्रिभुज का नाम | कोणो का माप | विशेषता व अन्य गुण |
|---|---|---|---|
| 1 . | न्यूनकोण | ||
| 2 . | एक कोण 90 0 का | ||
| 3 . | अधिक कोण त्रिभुज | ||
| 4 . | प्रत्येक कोण 60 0 | ||
| 5 . | दो भुजाओं का माप समान | ||
| 6 . | विषमबाहु त्रिभुज |
हल :-
| क्र. | त्रिभुज का नाम | कोणो का माप | विशेषता व अन्य गुण |
|---|---|---|---|
| 1 . | न्यूनकोण त्रिभुज | प्रत्येक कोण की माप 90 0 से कम | प्रत्येक कोण एक न्यूनकोण |
| 2 . | समकोण त्रिभुज | एक कोण 90 0 का | समकोण की सम्मुख भुजा सबसे लम्बी होती है जिसे कर्ण कहते है |
| 3 . | अधिक कोण त्रिभुज | एक कोण की माप 90 0 से अधिक | एक कोण अधिक कोण |
| 4 . | समबाहु त्रिभुज | प्रत्येक कोण 60 0 | प्रत्येक भुजा की लम्बाई समान |
| 5 . | समद्विबाहु त्रिभुज | समान भुजाओं के सम्मुख कोणों की माप समान होती है | दो भुजाओं का माप समान |
| 6 . | विषमबाहु त्रिभुज | कोई भी दो कोण समान नहीं होते | कोई भी दो भुजा समान नहीं होते |
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प्रश्न 10 – दिए गए चित्र में PQ और RS दो दर्पण है , जो एक दूसरे के समांतर रखे गए है | आपतित किरण AB ,दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण पथ BC से गुजरते हुए दर्पण RS के बिंदु C पर टकराती है और CD की दिशा में परावर्तित हो जाती है | सिद्ध किजिए क़ि AB || CD है |
(संकेत : समांतर रेखाओं के लंबवत रेखाएं भी समांतर होती है | )
ㄥABC= आपतन कोण
ㄥBCD=परावर्तन कोण
∵ आपतन कोण = परावर्तन कोण
∴ ㄥABC=ㄥBCD
परन्तु ये एकान्तर कोण है।
अंतः AB||CD सिद्ध हुआ
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प्रश्न 1 – दिए गए चित्र में यदि ㄥBAC = 34 0 ,ㄥBCE =163 0 हो तो ㄥACB ,ㄥABC और ㄥDBC ज्ञात कीजिये |
हल :- ㄥBAC= 34 ०
ㄥBCE= 163०
ㄥACB+ㄥBCE= 180 ० (रेखीय समूह )
⇒ ㄥACB+163० = 180 ०
⇒ ㄥACB = 180 ० – 163० = 17० उत्तर
ΔABC में ,
ㄥABC+ㄥBCA+ㄥCAB= 180 ० , (त्रिभुज के कोण – योग गुण से )
⇒ ㄥABC+ 17० +34 ० =180 ०
⇒ ㄥABC=180 ० – 51 ० = 129 ०
ㄥDBC , Δ ABC का बहिष्कोण है।
∴ ㄥDBC=ㄥBAC+ㄥACB , ( बहिष्कोण प्रमेय से )
= 34 ० + 17० = 51० . उत्तर
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प्रश्न 2 – दी गयी आकृति में x और y के मान ज्ञात कीजिए |
(संकेत AD || BC )
संकेत (AB || CD ,BC || DE ) संकेत (AB || CD )
हल :- (i) ㄥACB+ㄥACD=180 ० (रेखीय युग्म )
⇒ x+ 140 ० = 180 ०
⇒ x= 180 ० -140 ० = 4 0 ० उत्तर
ΔABC में y बहिष्कोण है
y=30 ० +x, (बहिष्कोण प्रमेय से )
= 3 0 ० +4 0 ० =7 0 ० उत्तर
(ii) AD || BC तथा AC तिर्यक रेखा है |
ㄥDAC=∠ACB, (एकान्तर कोण)
ㄥDAC= 3 0 ० (शीर्षाभिमुख कोण )
3 0 ० =x-y
x-y=3 0 ० ___________(1 )
(3 0 ० +5 y ),∆ABC का बहिष्कोण है|
∴ 3 0 ० +5y =2x +x -y , (बहिष्कोण प्रमेय से )
⇒ 3x-y-5y=3 0 ०
⇒ 3x-6y=3 0 ०
⇒ x-2y=10 ० _____________(2 )
समी (1)और ( 2 ) से ,
x-y= 3 0 ०
x-2y=10 ०
______________
y=20 ०
समी (1 )में y का मान रखने पर
x-20 ० =3 0 ०
⇒ x=3 0 ० +2 0 ० =50 ०
∴ x=50 ०
y=20 ० उत्तर
(iii) BC||DE तथा CE तिर्यक रेखा है
∴ ㄥBCE+ㄥCED=180 ० (एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ 105 ० +24 ० +x=180 ०
⇒ x=180 ० -129 ० =51 ० उत्तर
अब ,AB||CD तथा BC तिर्यक रेखा है।
∴ ㄥABC=ㄥBCD (एकान्तर कोण)
⇒ 3y =105०
∴ y=1053=35० उत्तर
(iv)AB||CD तथा BC तिर्यक रेखा है
ㄥABE=ㄥECD (एकान्तर कोण)
⇒ 30० =x
⇒ x=30० उत्तर
△ECD में , y बहिष्कोण है।
∴ y=x+45० (बहिष्कोण प्रमेय से)
= 30० +45० =75० उत्तर
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प्रश्न 3 – दिए चित्र में AS || BT ,ㄥ4 =ㄥ5 और SB ,ㄥAST की समद्विभाजक है ,तो ㄥ1 की माप ज्ञात कीजिए |
हल :- AS || BT
ㄥ4 =ㄥ5
SB ,ㄥAST की समद्विभाजक है।
∴ ㄥ2 =ㄥ3
ㄥ1 +ㄥ2 +ㄥ3 =180 ० , ( एक बिंदु पर ,एक रेखा पर बने कोण)
ㄥ3 +ㄥ4+ㄥ5 =180 ० , (ΔBST के अन्तः कोण )
∴ ㄥ1 +ㄥ2 +ㄥ3 =ㄥ3 +ㄥ4+ㄥ5
⇒ ㄥ1 +ㄥ3 +ㄥ3=ㄥ3 +ㄥ4 +ㄥ4 ,
[ㄥ2=ㄥ3 , ㄥ4+ㄥ5]
⇒ ㄥ 1 +2ㄥ3 =ㄥ3 +2 ㄥ4
⇒ 2 ㄥ3 -ㄥ3 =2 ㄥ4 -ㄥ1
⇒ ㄥ3 =2 ㄥ1 -ㄥ1 =ㄥ1 , [∵ AS|| BT , ∴ㄥ4 =ㄥ1 संगत कोण ]
अब , ㄥ1 +ㄥ2 +ㄥ3 =180 ०
∴ ㄥ1 +ㄥ2 +ㄥ3 =180 ० , [∵ ㄥ2 =ㄥ3 ]
⇒ ㄥ1 +ㄥ1 +ㄥ1 =180 ० [∵ ㄥ1=ㄥ3]
⇒ 3ㄥ1=180 ०
∴ ㄥ1=60 ० उत्तर
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प्रश्न 4- दी गयी आकृति में त्रिभुज PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश बिन्दुओ S और T तक बढ़ाया गया है | यदि ㄥSPR =135 0 ,ㄥPQT = 110 0 है ,तो ㄥPRQ ज्ञात कीजिये|
हल :- ㄥSPR =135 ०
ㄥPQT = 110 ०
ㄥPQT +ㄥPQR =180 ० (रेखीय युग्म)
⇒ 110 ० +ㄥPQR =180 ०
⇒ ㄥPQR =180 ० -110 ० = 70 ०
ㄥSPR +ㄥRPQ =180 ० (रेखीय युग्म)
⇒ 135 ० +ㄥRPQ =180 ०
⇒ ㄥRPQ =180 ० -135 ० =45 ०
अब ,∆PQR में
ㄥQPR +ㄥPRQ +ㄥRQP =180 ० (त्रिभुज के कोण – योग गुण से)
⇒ 45 ० +ㄥPRQ+ 70 ० =180 ०
⇒ ㄥPRQ=180 ० –115 ० =65 ० उत्तर
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प्रश्न 5 – दी गयी आकृति में ㄥZXY =62 0 और ㄥXYZ =54 0 है | यदि YO और ZO क्रमशः ∆ XYZ के ㄥXYZ और ㄥXZY के समद्विभाजक है ,तो ㄥOZY और ㄥYOZ ज्ञात कीजिये |
हल :- ㄥZXY =62 ०
ㄥXYZ=52 ०
YO ,ㄥXYZ का समद्विभाजक है।
∴ ㄥXYO =ㄥOYZ=54 2 =27 ०
ZO ,ㄥXZY का समद्विभाजक है।
△XYZ में ,
ㄥYXZ +ㄥXYZ+ㄥXZY =180 ० , (त्रिभुज के कोण-योग गुण से )
⇒ 62 ०+54 ० ㄥXZY =180 ०
⇒ ㄥXYZ=1800 -1160=640
∴ ㄥOZY=12ㄥXZY
=12×640=320 उत्तर
∆OYZ में
ㄥOYZ +ㄥYZO +ㄥYOZ =180 ० , (त्रिभुज के कोण योग गुण से)
⇒ 27 ० +32 ० ㄥYOZ =180 ०
⇒ ㄥYOZ =180 ० -59 ० =121 ० . उत्तर
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प्रश्न 6 – दी गयी आकृति में यदि AB || DE ,ㄥBAC =35 0 और ㄥCDE =53 0 है तो ㄥ DCE ज्ञात कीजिए |
हल :- AB || DE
ㄥBAC=350
ㄥCDE=530
∵ AB||DE तथा AE तिर्यक रेखा है।
ㄥBAC =ㄥAED, (एकान्तर कोण)
=350
∆CDE
ㄥCDE+ㄥDEC+ㄥDCE=1800 , (त्रिभुज के कोण -योग गुण से )
⇒ 530+ㄥAED+ㄥDCE=1800
[∵ㄥAED औरㄥDEC एक ही कोण है। ]
⇒ 530+350+ㄥDCE=1800
⇒ ㄥDCE=1800–880=920 उत्तर
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प्रश्न 7 – दिए गए चित्र में यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि ㄥPRT =40 0 ㄥ RPT =95 0 और ㄥTSQ =75 0 है तो ㄥSQT ज्ञात कीजिये |
हल :- Δ PRT में त्रिभुज कोण योग गुण से
ㄥPRT +ㄥRTP+ㄥRPT =180 ०
⇒ 40 ० +ㄥRTP+95 ० =180 ०
⇒ ㄥRTP=180 ० –135 ० =45 ०
∴ ㄥSTQ =ㄥRTP =45 ० , (शीर्षाभिमुख कोण )
अब , △TSQ में त्रिभुज कोण – योग गुण से ,
⇒ ㄥSTQ +ㄥTSQ +ㄥSQT =180 ०
⇒ ㄥSQT =180 ० –120 ० =60 ० उत्तर
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प्रश्न 8 – दी गयी आकृति में यदि AB 丄 AC ,AB || CD ,ㄥCBD =28 0 ,ㄥBDE =65 0 है ,तो x और y के मान ज्ञात कीजिये |
हल :- ㄥA =90०
AB || CD
ㄥCBD =28 ०
ㄥBDE =65 ०
ㄥBDC +ㄥBDE =180 ० , (रेखीय युग्म )
⇒ ㄥBDC +65 ० =180 ०
⇒ ㄥBDC=180 ० –65 ० =115 ०
ΔBCD में , त्रिभुज कोण योग गुण से ,
ㄥBCD +ㄥCDB +ㄥDBC =180 ०
⇒ ㄥBCD+115 ० +28 ० =180 ०
⇒ ㄥBCD=180 ० –143 ० =37 ०
∵ AB || CD
∴ ㄥBAC +ㄥACD =180 ० ( एक ही ओर के अंतः कोण )
⇒ 90 ० +(ㄥACB +ㄥBCD )=180 ०
⇒ x +37 ० =180 ० -90 ०
⇒ x=90 ० -37 ० =53 ० उत्तर
△ABC में ,
ㄥBAC =90 ०
∴ शेष x + y =90 ०
⇒ y = 90 ० -x
= y = 90 ० -53 ० =37 ० उत्तर
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प्रश्न 9 – दी गयी आकृति में Δ ABC की भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है | यदि ㄥABC और ㄥACD के समद्विभाजित बिंदु E पर मिलते है , तो सिद्ध कीजिये कि ㄥBEC =1 /2 ㄥBAC
(संकेत -ΔABC के कोणों का योग =ㄥBEC के कोणों का योग एवं ㄥACD =ㄥBAC +ㄥABC )
हल :-ㄥABE =ㄥ1
ㄥEBC =ㄥ2 ,ㄥACE =ㄥ3 ,ㄥECD =ㄥ5 ,ㄥBEC =ㄥ6 ,ㄥACB =ㄥ7
ΔABC में त्रिभुज कोण – योग गुण से ,
ㄥBAC +ㄥABC +ㄥACB =180 ०
⇒ ㄥ5 +(ㄥ1 +ㄥ2 )+ㄥ7 =180 ० _______(1 )
इसी प्रकार ,∆BCE में
ㄥEBC +ㄥBCE +ㄥCEB =180 ०
⇒ ㄥ2 +(ㄥ3 +ㄥ7 )+ㄥ6 =180 ० _______(2 )
∴समी (1 ) और (2) से
ㄥ5+ㄥ1+ㄥ2+ㄥ7=ㄥ2+ㄥ3+ㄥ7+ㄥ6
⇒ ㄥ5+ㄥ1=ㄥ3+ㄥ6 _______(3)
BE,ㄥABC का समद्विभाजक है।
ㄥ1=ㄥ2
CE,ㄥACD का समद्विभाजक है।
ㄥ3=ㄥ4
∆BEC में बहिष्कोण प्रमेय से ,
ㄥECD=ㄥEBC+ㄥBEC
⇒ ㄥ4=ㄥ2+ㄥ6
⇒ ㄥ3=ㄥ2+ㄥ6 [∵ㄥ3=ㄥ4] _______(4)
समी (3)और (4)से ,
ㄥ5+ㄥ1=ㄥ2+ㄥ6+ㄥ6
⇒ ㄥ5+ㄥ1=ㄥ1+2ㄥ6 [∵ㄥ1=ㄥ2
⇒ ㄥ5=2ㄥ6
⇒ ㄥBAC = 2ㄥBEC
∴ ㄥBEC=12ㄥBAC (सिद्ध हुआ।)