CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 त्रिभुजों की सर्वांगसमता are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
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प्रश्न 1 – चित्र में यदि OA =OD तथा OB =OC हो तो इनमे से कौनसा कथन सत्य है –
a )Δ AOC ≅ Δ BDO
b ) Δ AOC ≅ Δ DOB
C ) Δ CAO ≅ Δ BOD
हल :- चूँकि ∆AOC और ∆BOD में ,
AO = DO
CO = BO
तथा ㄥAOC =ㄥBOD (शीर्षाभिमुख कोण )
∴ ∆AOC ≅ΔDOB (SAS सर्वांगसमता )
अंतः कथन (b)सत्य है
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प्रश्न 2 – दिए गए चित्र में Δ ABC तथा ΔPQR को देखकर बताइए कि कौन सा कथन सत्य हैं
a ) Δ ABC ≅ Δ PQR
b ) Δ ABC ≅ Δ QPR
c ) Δ ABC ≅ Δ PRQ
हल :- ∵ AB =PQ =3.3 सेमी ,BC =PR =4 सेमी तथा AC =QR=3 सेमी
∴ SSS सर्वांगसमता है ,
∆ABC ≅ ΔQPR
अंतः कथन (b) सत्य है। उत्तर
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प्रश्न 3 – निम्नलिखित में कोनसी सर्वांगसमता की कसौटी नहीं है –
a )SSS b )SAS c )AAA
हल :- (c )AAA
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प्रश्न 4 – दो त्रिभुज के सर्वांगसम होने के लिए दो संगत कोणों के समान होने के अतिरिक्त कम से कम संगत अवयवों का समान होना आवश्यक है ?
a ) कोई संगत भुजा बराबर न हो
b )कम से कम एक संगत भुजा बराबर हो
c )तीसरे संगत कोण बराबर हो |
हल :- कम -से -कम एक भुजा संगत हो।
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प्रश्न 5 – चित्र में ㄥB =ㄥC तथा BD और CD क्रमशः इनके समद्विभाजक है तो AB : AC होगा |
a ) 2 : 1
b )3 : 2
c )1 : 1
हल :- चित्र में , BD -CD
ㄥB=ㄥC
⇒ 12ㄥB=12ㄥc
⇒ ㄥABD=ㄥACD
अब , ΔADB और ΔADC में ,
BD=CD
ㄥABD=ㄥACD
तथा AD उभयनिष्ठ है।
∴ ΔADB≌∆ADC, ( SAS सर्वांगसमता है )
अंतः AB=AC, (C. P. C. T.)
∴ सही उत्तर(c)है। AB :AC = 1:1. उत्तर
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प्रश्न 6 – निम्न त्रिभुज के युग्मो को देखकर बताइये कि प्रत्येक चित्र में कौनसी सर्वांगसमता की कसौटी लागू होती है –
हल :- (i) SAS सर्वांगसमता ( दो संगत भुजाएं और मध्य का संगत कोण बराबर है )
(ii ) SAS सर्वांगसमता ( दो संगत भुजाएं और संगत शीर्ष कोण बराबर है ) (iii ) ASA सर्वांगसमता (दोनों आधार और दोनों आधार कोण तुल्य है )
(iv ) AAS ( दो संगत कोण और एक संगत भुजा बराबर है ) (v ) SSS सर्वांगसमता ( तीनों संगत भुजाएं बराबर है )
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प्रश्न 7 – यदि ΔABC ≅ΔPQR ,AC =3x+2 , PR =6x-13 तथा BC =5x ,तो QR का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- ΔABC ≅ΔPQR
∴ AB =PQ ,BC =QR तथा AC =PR होगा। (SSS सर्वांगसमता )
AC=3x+2,PR=6x-13,BC=5x
∴ AC=PR से ,
3x+2=6x-13
⇒ 6x-3x=2+13
⇒ 3x=15
∴ x=153=5
अंतः , BC =5x से ,
=5х5=25
∴ QR=BC=25 उत्तर
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प्रश्न -8 दिए गए बिंदुओं की सहायता से कथनों को कारण सहित समझाते हुए AB के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए|
हल :- AB को मिलाया।
अब , ∆AOB और ∆COD में-
AO=OD=180 मी.
BO=CO=210 मी.
ㄥAOB=ㄥCOD, (शीर्षाभिमुख कोण )
ΔAOB≅ΔCOD, (SAS सर्वांगसमता
अंतः AB=CD=160 मी.
अंतः AB के बीच की दूरी 160 मी होगी उत्तर
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प्रश्न 9 – दो टीमों के दौड़ने के लिए विशेष व्यवस्था की गई है जिसमे एक टीम A और B तथा B से C तक दौड़ती है और C से पुनः A पर वापस आती है | इसी प्रकार दूसरी टीम C से दौड़ शुरू करती है तथा D से होते हुए B पर तथा B से पुनः C पर वापस आती है यदि AB || CD तथा ㄥA =ㄥD =90 0 है तो बताये क्या दोनों टीमों द्वारा तय की गयी मैदान की लम्बाईया समान होंगी ?उत्तर की व्याख्या कीजिए |
हल :-पहली टीम द्वारा तय की गयी मैदान की लम्बाई
=AB +BC +CA
दूसरी टीम द्वारा तय की गयी मैदान की लम्बाई
=CD+DB+BC
स्पष्ट है ,दोनों टिमे दौड़ के दौरान दो समकोण त्रिभुज क्रमशः ΔABC और ΔCDB का निर्माण करती है |
इनमें ㄥA=ㄥD=900
दोनों टीमें BC रास्ते पर दौड़ती है |
अंतः ,इन दोनों त्रिभुजों के कर्ण समान है |
अंतः ,R.H.S. सर्वांगसमता से
ΔABC ≌ ΔDCB
अंतः ΔABC की सभी भुजाएं ΔDCB की संगत भुजाएं के तुल्य होगा |
अंतः , AB+BC+CA=CD+DB+BC
अंतः ,दोनों टीमों द्वारा तय की गयी मैदान की लम्बाईयाँ समान होगा |
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प्रश्न 10 – l और m दो समांतर रेखाएं है जिन्हें समांतर रेखाएं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है | दर्शाइए कि ΔABC ≅ ΔCDA (इसे फ्लो चार्ट के द्वारा लिखिए )
हल :-
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प्रश्न 11 – चित्र में AC =AE ,AB =AD और ㄥBAD=ㄥEAC है तो दर्शाइए कि BC =DE .
हल :-
| कथन | कारण |
| ΔABC और ΔADE में AC=AE AB=AD ΔABD और ΔACE में ㄥBAD=ㄥEAC⇒ ㄥBAD+ㄥDAC = ㄥEAC+ㄥDAC ⇒ ㄥBAC=ㄥDAE∴ ΔABC≅ΔADEअंतः BC=DE | दत्तदत्त दत्त समीकरण के गुण से SAS सर्वांगसमता C.P.C.T. |
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प्रश्न 1 – दिए गए चित्र में AB =AC तथा ㄥA =60 0 तो ㄥC का माप होगा |
(i )35०
(ii)45 0
(iii)60 0
(iv) 180 0
हल :- AB=AC
∴ ㄥB=ㄥC,
∵ ㄥA=600,
∴ ㄥB=ㄥC=600
अंतः सही उत्तर है (iii)600. उत्तर
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प्रश्न 2 – चित्र में यदि ㄥA=ㄥB तो AC : BC है
(i)1 : 1 (ii)1 : 2 (iii)2 : 1 (iv)इनमे से कोई नहीं
हल :- ∵ ㄥA =ㄥB
∴ BC=AC (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएं )
अंतः , सही उत्तर है (i)1 :1. उत्तर
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प्रश्न 3 – ΔABC में AB =AC है यदि ㄥB=50 0 हो तो ㄥA का माप होगा
(i)50 0 (ii) 180 0 (iii)100 0 (iv)80 0
हल :-
चूँकि AB =AC,
∴ ㄥC=ㄥB=500
∴ ㄥA=1800-(ㄥB+ㄥC)
=1800-(50+50)
=1800=100=800
अंतः ,सही उत्तर (iv) 800.
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प्रश्न 4 – ΔABC में यदि ㄥC =ㄥA तथा AB =4 से.मी. ,AC = 5 से.मी. है तो BC होगा
(i) 2 सेमी. (ii)3 सेमी. (iii)4 सेमी. (iv)9 सेमी.
हल :- ㄥC =ㄥA
AB=BC (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएं)
∵ AB=4सेमी
∴ BC =4 सेमी
अंतः ,सही उत्तर (iii) 4 सेमी |
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प्रश्न 5- दिए गए चित्र में ㄥB=550 है यदि D ,BC का मध्यबिंदु हो तथा AB =AC है तो ㄥBAD का माप होगा –
(i) 70० (ii) 55 ० (iii)35 ० (iv)180 ०
हल :- ΔABC में , ㄥB =55 ०
AB=AC
ㄥC=ㄥB, (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
ㄥC=55 ०
अब ∆ABC में ,
ㄥA+ㄥB+ㄥC=1800
⇒ ㄥA+550+550=1800
⇒ ㄥA=1800-1100=700
∴ ㄥBAD=12ㄥA
= 12х700 =350
अंतः सही उत्तर (iii) 350. उत्तर
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प्रश्न 6- दिए गए सम षट्भुज के लिए x का मान ज्ञात कीजिए
हल :- समष्ट भुज भुज के प्रत्येक अंतः कोण का मान =120 ०
∴ चित्र में , दोनों न्यून कोण का योग =180 ० -120 ० =60 ० होगा।
परन्तु सम षट्भुज की सभी भुजाएं समान होने के कारण ,चित्र में बने त्रिभुज में दोनों न्यून कोण समान होंगे।
∴ x=602=300 उत्तर
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प्रश्न 7 – एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में AB =BC तथा आधार AC है तथा ㄥA =2x+8 .ㄥC =4x-20 तो x का मान ज्ञात कीजिए तथा दर्शाइए कि यह त्रिभुज न्यूनकोण त्रिभुज , समकोण त्रिभुज या अधिक कोण त्रिभुज है|
हल :- ΔABC में ,
AB=BC
∴ ㄥC=ㄥA, (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण )
⇒ 4x-20=2x+8
⇒ 4x-2x=8+20
⇒ 2x=28
∴ x=14
अब, ㄥA=2x+8
=2.14+8
28+8=360
अंतः, ㄥC=ㄥA=360
ΔABC में ,
ㄥA+ㄥB+ㄥC=1800
360+ㄥB+360=1800
⇒ ㄥB=1800-720=1080
चूँकि ΔABC का एक कोण ㄥB अधिक कोण है ,अंतः यह एक अधिक कोण त्रिभुज है
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प्रश्न 8 -चित्र में दिया है AB || ED ,CA || FD तथा BC ≅EF सिद्ध करना है ΔABC ≅ΔDEF
हल :- AB||DE,CA||FD,BC=EF
ΔABC और ΔDEF में
ㄥB=ㄥE, (संगत कोण,AB|| DE , BC तिर्यक रेखा है )
ㄥC=ㄥF, ( संगत कोण AC||FD ,EF तिर्यक रेखा है )
BC=EF, (दत्त)
∴ ΔABC≅ΔDEF (ASA सर्वांगसमता ) सिद्ध हुआ।
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प्रश्न 9 – ABCD एक चतुर्भुज है जिसमे AD = BC और ㄥDAB =ㄥCBA है | सिद्ध कीजिये –
- ΔABD ≅ ΔBAC
- BD =AC
- ㄥABD =ㄥBAC
हल :- AD=BC,ㄥDAB=ㄥCBA
ΔABD और ΔBAC में ,
AD=BC (दत्त )
AB उभयनिष्ठ
ㄥDAB=ㄥCBA,
∴ ΔABD ≅ ΔBAC, (SAS सर्वांगसमता)
अंतः BD=AC, (C.P.C.T. )
तथा ㄥABD=ㄥBAC. (C.P.C.T. )
सिद्ध हुआ
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प्रश्न 10 – यदि AB =DF ,AC =DE ,BE =FC तो सिद्ध कीजिये कि
ΔABC ≅ ΔDFE
हल :- BC=BE+EC _______________(1)
EF=EC+CF _______________(2)
BE=CF (दिया है)
EC उभयनिष्ट
समी (1)एवं (2) के दक्षिण पक्ष बराबर है। अंतः वाम पक्ष भी बराबर होंगे।
BC=EF
ΔABC तथा ΔDEF में
AB=DF
AC=DE
BC=EF
∴ ∆ABC≅ΔDFE, (भुजा- भुजा- भुजा सर्वांगसमता) सिद्ध हुआ।
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प्रश्न 1- चित्र में ㄥB ＜ㄥA और ㄥC ＜ㄥD है | दर्शाइए कि AD ＜BC है |
हल :- ㄥB ＜ㄥA
∴ AO＜BO, __________(1)
(छोटे कोण की सम्मुख भुजा छोटी होती है )
ㄥC＜ㄥD
∴ DO＜CO,(पहले की तरह ) __________(2)
समी (1) और (2) को जोड़ने पर ,
AO+DO＜BO+CO
⇒ AD＜BC सिद्ध हुआ।
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प्रश्न 2 – दिए गए चित्र में यदि x ＞y हो तो सिद्ध कीजिये कि MP ＞NP .
हल :- x ＞y
∴ (1800-x)<(1800-y)
⇒ ㄥPMN＜ㄥPNM
⇒ ㄥPNM＞ㄥPMN
⇒ MP＞NP (∵बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है ) सिद्ध हुआ
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प्रश्न 3 – दिए गए चित्र में PQ ＞PR तथा ㄥQ और ㄥR के अर्द्धक क्रमशः QS और RS है | सिद्ध कीजिये क़ि SQ ＞SR
हल :- QS,ㄥPQR की अर्द्धक है|
∴ ㄥPQS=ㄥSQR
RS,ㄥPRQ की अर्द्धक है|
∴ ㄥPRS=ㄥSRQ
दिया है, PQ＞PR
⇒ ㄥR＞ ㄥQ, (बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है )
⇒ 12ㄥR＞12ㄥQ
⇒ ㄥSRQ＞ㄥSQR
⇒ SQ＞SR, (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है )
सिद्ध हुआ
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प्रश्न 4 – दिए गए चित्र में PQ =PR हो तो सिद्ध कीजिये कि PS ＞PQ
हल :- PQ=PR
∴ ㄥPRQ=ㄥPQR, (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण )
ΔPSQ मेंㄥPQR बहिष्कोण है |
∴ ㄥPQR>PSQ
⇒ ㄥPRQ＞ㄥPSQ, (∵ㄥPQR=ㄥPRQ)
⇒ PS＞PR,(ΔPSR में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होगी )
⇒ PS＞PQ. (∵PQ=PR)
सिद्ध हुआ