CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 15 घन और घनाभ are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 15 घन और घनाभ
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प्रश्न 1 – एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल 1350 वर्ग मीटर है , तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए ?
हल :- माना घन की कोर a है।
तब घन की सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल= 6 a 2
प्रश्नानुसार ,
6 a 2 =1350 वर्ग मीटर
⇒ a 2 =1350 6
= 225 मीटर
∴ a =15 मीटर
अतः घन का आयतन =a 3
= 15 3
= 3375 घन मीटर। उत्तर
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प्रश्न 2 – एक घनाभ का आयतन 1200 घन सेमी है | इसकी लम्बाई 15 सेमी और चौड़ाई 10 सेमी है इसकी ऊंचाई ज्ञात कीजिये |
हल :- घनाभ का आयतन V =1200 घन सेमी
लम्बाई a =15 सेमी
चौड़ाई b =10 सेमी
ऊँचाई c = ?
1200 =15 10 c
c =1200 150 =8 सेमी।
अतः घनाभ की ऊंचाई 8 सेमी है। उत्तर
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प्रश्न 3 – एक घनाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होगा यदि –
(i) प्रत्येक भुजा को दोगुना किया जाये ?
(ii)प्रत्येक भुजा को तीन गुना किया जाये ?
(iii)प्रत्येक भुजा को n गुना किया जाये ?
हल :-डिब्बा घनाभ के आकार के होगा।
यदि उसकी तीन संलग्न कोरे a ,b ,c हो ,तब
उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S =2 (ab +bc +ca )होगा।
(i) यदि प्रत्येक भुजा को दोगुना किया जाये ,
अर्थात 2a ,2b ,2c किया जाये ,तब
नया सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल S ‘ =2 (2a .2b +2b.2c +2c.2a )
= 2.4 (ab +bc +ca )
= 4 S
अतः नया सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल पहले का 4 गुना होगा।
(ii ) यदि प्रत्येक भुजा को 3 गुना किया जाये ,
अर्थात 3a ,3b ,3c किया जाये ,तब
नया सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल S ‘ =2 (3a .3b +3b.3c +3c.3a )
= 2.9 (ab +bc +ca )
= 9 S
अतः नया सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल पहले का 9 गुना होगा।
(iii ) यदि प्रत्येक भुजा को n गुना किया जाये ,
अर्थात na ,nb ,nc किया जाये ,तब
नया सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल S ‘ =2 (na .nb +nb.nc +nc.na )
= 2n 2 (ab +bc +ca )
= n 2 2 (ab +bc +ca )
= n 2 S
अतः नया सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल पहले का n 2 गुना होगा।
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प्रश्न 4 – प्रियंका के घर के सबसे बड़े कमरे के फर्श का परिमाप 250 मीटर है | इस कमरे के चारो दीवारों की पुताई 10 रूपए प्रति वर्ग मीटर की दर से कराने पर 15000 रुपए खर्च होते है ,तो कमरे की ऊंचाई कितनी है ? (संकेत -चारों दीवारों का क्षेत्रफल=पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल )
हल :- कमरे का आकार घनाभ के आकार का होगा तथा चारों दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
फर्श का परिमाप =250 मीटर
⇒ 2 (a +b )=250
⇒ a +b =125 मीटर _________(1)
चारों दीवारों की पुताई में लगा खर्च = 15 ,000 रु
खर्च की दर =10 रु प्रति वर्ग मीटर
∴ चारो दीवारों का क्षेत्रफल =15 ,00010
=1500 वर्ग मीटर
अब ,चारो दीवारों का क्षेत्रफल =2 (a +b )c
∴ 2 (a +b )c=1500
⇒ 2 125 c =1500 समी (1) से ,
c =1500 2 125 =1500 250 =6 मीटर
अतः कमरे की ऊंचाई =6 मीटर। उत्तर
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प्रश्न 5 – एक घनाकार पेटी के कोर की लम्बाई 10 सेमी है | एक दूसरे घनाभ के आकर की पेटी की लम्बाई ,चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 12.5 सेमी ,10 सेमी और 8 सेमी है |
(i)किस पेटी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक ?
(ii)किस पेटी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम ?
हल :- घनाकार पेटी की लम्बाई a =10 सेमी
घनाभ के आकार के पेटी की ,
लम्बाई a =12. 5 सेमी
चौड़ाई b =10 सेमी
ऊंचाई c =8 सेमी
∴ (i) घनाकार पेटी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4 a 2
= 4. 10 2
= 400 वर्ग सेमी
घनाभ आकार की पेटी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल–
=2c (a +b)
=2 8 (12.5+10 )
=16 22.5
= 360 वर्ग सेमी
अतः घनाकार पेटी का पार्श्व पृष्ठ घनाभ आकार कि पेटी से 40 वर्ग सेमी अधिक है।
घनाकार पेटी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a 2
=6 (10 )2 =6 100
=600 वर्ग सेमी
घनाभ आकार पेटी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
=2 (ab +bc +ca )
=2 (12.5 10 +10 8 +8 12.5 )
=2 (125 +80 +100 )
=2 305
=610 वर्ग सेमी
अतः घनाकार पेटी का सम्पूर्ण पृष्ठ घनाभ आकार की पेटी से 10 वर्ग सेमी कम है। उत्तर
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प्रश्न 6 – एक गांव की जनसंख्या 4000 है | इस गाँव में रहने वाले प्रत्येक व्यक्ति को प्रतिदिन 150 लीटर पानी की आवश्यकता पड़ती है | गाँव में पानी की एक टंकी है , जिसकी लम्बाई ,चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 20 मीटर ,15 मीटर और 6 मीटर है यदि इस टंकी को पूरा भर दिया जाये तो गाँव की कितने दिनों की पानी की आवश्यकता पूरी हो जाएगी ?
(संकेत -1 घन मीटर =1000 लीटर )
हल :- गाँव की जनसंख्या =4000
प्रत्येक व्यक्ति हेतु प्रतिदिन आवश्यक पानी की मात्रा =150 लीटर
∴ पुरे गाँव के लिए एक दिन की आवश्यक पानी की मात्रा =4000 150
=600000 लीटर
=600 घन मीटर (∵1 घन मीटर =1000 लीटर )
टंकी की लंबाई =20 मीटर
चौड़ाई =15 मीटर
ऊंचाई =6 मीटर
∴ टंकी का आयतन V =abc
=20 15 6
=1800 घन मीटर
अतः टंकी में 1800 घन मीटर पानी समा सकता है।
∵गाँव की एक दिन की पानी की आवश्यकता 600 घन मीटर है।
अतः टंकी का पानी 1800 600 =3 दिन ,पानी की आवश्यकता पूर्ति कर सकता है उत्तर
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प्रश्न 7 – एक 3 मीटर गहरी और 40 मीटर चौड़ी नदी 2 किमी प्रति घंटे की दर से बह रही है | क्या आप ज्ञात कर सकते है कि एक मिनट में नदी का कितना पानी समुद्र में गिर रहा है ?
हल :- नदी की गहराई =3 मीटर
चौड़ाई =40 मीटर
नदी 1 घंटे में 2 किमी की दूरी तय करती है। अतः 2000 मीटर बहती है।
∴ 1 घंटे में नदी द्वारा समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन =a. b. c
=3 40 2000
=24 10 4 घन मीटर
∵ 60 मिनट में समुद्र में नदी द्वारा 24 10 4 घन मीटर पानी गिराया जाता है।
∴ 1 मिनट में समुद्र में नदी द्वारा गिराया गया पानी
= 24 10 4 60
= 4000 घन मीटर। उत्तर
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प्रश्न 8 – एक घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 3328 वर्ग मीटर है। यदि घनाभ की लम्बाई , चौड़ाई तथा ऊँचाई में अनुपात 4 : 3 : 2 हो ,तो घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिये।
हल :- माना आयताकार ठोस की लम्बाई =a मीटर
चौड़ाई =b मीटर
ऊँचाई =c मीटर
प्रश्नानुसार ,
a :b :c =4 :3 :2
तब a =4x
b =3x
c =2x
और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल=3328 वर्ग मीटर
∴ 2 (ab +bc +ca )=3328
⇒ 2 (4x3x +3x 2x +2x 4x )=3328
⇒ 2 (12 x 2 +6 x 2 +8 x 2 )=3328
⇒ 26 x 2 =3328 2
⇒ x 2 =1664 26 =64
⇒ x =8
अतः घनाभ की लम्बाई =a =4x =4 8 =32 मीटर
चौड़ाइ =b =3x =3 8 =24 मीटर
ऊंचाई =c =2x =2 8 =16 मीटर उत्तर
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प्रश्न 9 – तीन घन जिनमे प्रत्येक का आयतन 125 घन सेमी है,को किनारे से जोड़कर एक घनाभ बनाया गया। इस प्रकार बने घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :-
माना घन की भुजा x सेमी है।
दिया है :घन का आयतन =125 घन सेमी
∴ x 3 =125
⇒ x =3 125
⇒ x =5 सेमी
तीन घनो को जोड़ने पर बने घनाभ की
लम्बाई =a =5 +5 +5 =15 सेमी
चौड़ाई =b =5 सेमी
ऊंचाई =c= 5 सेमी
अतः घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2 (ab +bc +ca )
=2 (15 5 +5 5 +5 15 )
= 2 (75 +25 +75 )
= 2 175
= 350 वर्ग सेमी। उत्तर
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प्रश्न 10 – एक जलाशय घनाभ के आकार के है ,इसकी लंबाई 20 मीटर है।यदि जलाशय में से 18 किलोलीटर पानी निकाल लिया जाये तो पानी का स्तर 15 सेमी नीचे चला जाता है। जलाशय की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
(संकेत -1 किलोलीटर =1 घन मीटर)
हल :-
माना जलाशय की चौड़ाई b =मीटर है|
दिया है :जलाशय की लम्बाई a =20 मीटर
18 किलोमीटर =18 घन मीटर पानी निकलने पर पानी का स्तर नीचे उतर जाता है =15 सेमी =0.15 मीटर
अतः पानी निकाल लेने से खाली हुए जलाशय का आयतन =निकाले हुए पानी का आयतन
∴ 20 b 0. 15 =18
⇒ b =18 20 0. 15
⇒ b =18 3
⇒ b =6
अतः जलाशय की चौड़ाई 6 मीटर है। उत्तर
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प्रश्न 11 – एक खुले मैदान में 10 मीटर लंबी एक दीवार का निर्माण किया जाना है। दीवार की ऊंचाई 4 मीटर और मोटाई 24 सेमी है| यदि इस दीवार को 24 सेमी 12 सेमी8 सेमी विमाओं वाली ईंटों से बनाया जाना है ,तो इसके लिए कितनी ईंटों की आवश्यकता होंगी ?
हल :- दीवार की लम्बाई a =10 मीटर
=1000
मोटाई b =24 सेमी
ऊंचाई c =4 मीटर
=400
अतः दीवार का आयतन =a b c
=1000 24 400 cu.cm.
ईंट की विमाएँ –
a =24 सेमी
b =12 सेमी
c =8 सेमी
∴ ईट का आयतन =a b c
=24 12 8 cu.cm.
अतः ईंट की संख्या =दीवार का आयतन ईट का आयतन
=1000 24 400 24 8 12
=4166 .66
=4167 ईट (लगभग )| उत्तर
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प्रश्न 12 – 8 मीटर लंबा 6 मीटर चौड़ा और 3 मीटर गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में 30 रूपए प्रति घन मीटर की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिये।
हल :- घनाकार गड्ढे की –
लम्बाई a =8 मीटर
चौड़ाई b =6 मीटर
गहराई c =3 मीटर
∴ गड्ढे का आयतन V =abc
=8 6 3
=144 घन मीटर
1 घन मीटर की खुदाई में होने वाला व्यय =30 रु
∴सम्पूर्ण गड्ढे की खुदाई में होने वाला व्यय =144 30
=4320 रुपये उत्तर
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प्रश्न 13 – किसी गोदाम की माप 60 मीटर 25 मीटर 10 मीटर है। इस गोदाम में 1.5 मीटर 1.25 मीटर 0.5 मीटर की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट रखे जा सकते है।
हल :-गोदाम की माप (आयतन ) =60 25 10
=15000 मी 3
क्रेट की माप (आयतन ) =1.5 1.250.5
=0. 9375 मी 3
माना गोदाम में अधिकतम n क्रेट रखे जा सकते है।
तब n क्रेट का आयतन =गोदाम का आयतन
⇒ n 0.9375 =15000
⇒ n =15000 0. 9375 =16 ,000 . उत्तर
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प्रश्न 14 – 12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी ? साथ ही ,इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :- दिए गए ठोस घन की भुजा A =12 सेमी
माना , इसे a भुजा वाले 8 समान घनो में काटा जाता है।
तब ,
दिए गए घन का आयतन =8 नए घन का आयतन
⇒ A 3 =8.a 3
⇒ 12 3 =8. a 3
⇒ a 3 =12 3 8 =(12 2 )3
⇒ a 3 =6 3
∴ a =6
अतः नए घन की भुजा =6 सेमी
दिए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल=6 A 2
नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल=6 a 2
∴ दोनों पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात =6 A 2 6 a 2
=A 2 a 2 =12 2 6 2
= 12 12 6 6 =4 1
अतः अभीष्ट अनुपात 4 :1 होगा।
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प्रश्न 15 – मैरी अपने क्रिसमस वृक्ष को लकड़ी के एक घनाभाकार बॉक्स के अंदर रखकर रंगीन कागज से ढकना चाहती है। मैरी जानना चाहती है कि उसे कितना काग़ज़ खरीदना चाहिए। यदि उपर्युक्त बॉक्स की लंबाई ,चौड़ाई और उँचाई क्रमशः 80 सेमी ,40 सेमी एवं 20सेमी है ,तो उसे 40 सेमी भुजा वाली काग़ज़ की कितनी वर्गाकार शीटों की आवश्यकता होंगी ?
हल :-
बॉक्स की –
लम्बाई a =80 सेमी
चौड़ाई b =40 सेमी
ऊंचाई c=20 सेमी
∴ घनाभाकार बॉक्स का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल =2 (ab +bc +ca )
=2 (80 40 +40 20 +20 80 )
= 2 5600
=11200 वर्ग सेमी
कागज की वर्गाकार शीट की लंबाई =40 सेमी
∴ शीट का क्षेत्रफल =40 40 वर्ग सेमी
= 1600 वर्ग सेमी
माना ,बॉक्स को ढकने के लिए n शीटो की आवश्यकता होगी ,तब
n शीट का क्षेत्रफल =बॉक्स का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल
⇒ n 1600 =11200
∴ n =11200 1600 =7
अतः 7 शीटों की आवश्यकता होगी