CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 4 बहुपद are given below for Hindi Medium students.
CG Board Class 9 Maths Solutions Chapter 4 बहुपद
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प्र.1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन सा बहुपद है और कौन सा नहीं? अपने उत्तर का कारण भी लिखिए।
i) 4×2-3x+5
हल :- 4×2-3x+5
यह एक बहुपद है ,क्योकि चर की घात पूर्ण संख्या है। उत्तर
ii) z +3z
हल :- z +3z
यह एक बहुपद नहीं है ,क्योकि z की घात पूर्ण संख्या नहीं है। उत्तर
iii) y +2y+3
हल :-y +2y+3
यहाँ y एक पूर्ण संख्या नहीं है। अतः यह एक बहुपद नहीं है। उत्तर
iv) x2 +32
हल :- x2 +32
यह एक बहुपद है ,क्योकि चर की घात पूर्ण संख्या है। उत्तर
v) x10 +y3 + t10
हल :- x10 + y3 +t10
यह बहुपद है ,क्योकि चर की घात पूर्ण संख्या है। उत्तर
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प्र.2. निम्नलिखित में x2 का गुणांक लिखिए-
i) 3 x2 +2×2 +3x +2
हल :- 3 x2 +2×2+ 3x +2=5 x 2 +3x +2
अतः x 2 का गुणांक =5 . उत्तर
ii) 3×2+1
हल :- 3×2+1
x2 का गुणांक =3 उत्तर
iii) 2-5×2 +12 x3
हल :- 2- +12 x3
x2 का गुणांक = -5 उत्तर
iv) x22+1
हल :- x22+1
x2 का गुणांक =1 2 उत्तर
v) x4+ x3 +14 x2
हल :- x4+ x3 +14 x2
x2का गुणांक = 1 4 उत्तर
Page Number-91 ,Chapter-4 (बहुपद )
प्रश्नावली – 4.1
3. निम्न बहुपद में x का गुणांक एवं अचर पद लिखिए।
i) x2 +15 x+5
हल :- x2 +15 x+5
∴ x का गुणांक =1 5 तथा अचर पद =5 . उत्तर
ii) 2 x + 7
हल :- 2 x + 7
x का गुणांक =2 तथा अचर पद = 7 . उत्तर
iii) x2+2
हल :- x2+2
अतः x का गुणांक =0 तथा अचर पद =2 . उत्तर
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प्र.4. निम्नलिखित में से प्रत्येक का एक उदाहरण लिखिए-
i) घात 4 का द्विपदी बहुपद
हल :- घात 4 का द्विपदी बहुपद
x4+3.3×4+2×3 इत्यादि उत्तर
ii) घात 6 का त्रिपदी बहुपद
हल :-घात 6 का त्रिपदी बहुपद
5×6-3×5+2×4,y6+3y+3 इत्यादि उत्तर
iii) घात 5 का एकपदी बहुपद
हल :-घात 5 का एकपदी बहुपद
2×5,z5 इत्यादि उत्तर
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प्र.5. निम्नलिखित बहुपदों में प्रत्येक की घात लिखिए-
i) x3-6x2+x+1
हल :- x3-6×2+x+1
चर राशि की अधिकतम घात =3
∴ बहुपद की घात =3 . उत्तर
ii) y9-3y7+ 32 y2+4
हल :- y9-3y7+ 32 y2+4
बहुपद की घात =9 उत्तर
iii) 3-y3z
हल :- 3-y3z
बहुपद की घात =4 उत्तर
iv) x2y-2x+1
हल :- x2y-2x+1
बहुपद की घात =3 उत्तर
v) 5t- 11
हल :- 5t- 11
बहुपद की घात =1 उत्तर
vi) 7
हल :- 7
बहुपद की घात =0 उत्तर
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प्र.6. निम्नलिखित बहुपदों में से अचर, रैखिक, द्विघातीय एवं त्रिघातीय बहुपदों को छाँटिए-
i) x3+ x2+x+1 ii) 9 x3 iii) y+ y2+34 iv) t+3
v) y-y3 vi) 8 vii) 2×2+3 viii) p2-p+5
ix) x+23 x) 4 xi) -u4+32 xii) -37
हल :- अचर:-(vi)8 , (x) 4 ,(xii) -3 7
रैखिकः- (iv ) t +3, ix) x+23,xi) -u4+32.
द्विघातीय:- iii) y+ y2+34, vii) 2×2+3, viii) p2-p+5
त्रिघातीय :- i) x3+ x2+x+1 , ii) 9 x3, v) y-y3
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प्र.1. बहुपद 5x3– 2x2+3x-2 का मान ज्ञात कीजिए यदि-
i) x=0
हल :- 5×3- 2×2+3x-2
x=0 हेतु ,
p (0) = 50 -2 0 +3. 0-2 =-2. उत्तर
ii) x=1
हल :- 5×3- 2×2+3x-2
x=1हेतु
p (1) = 5(1 )3- 2(1 )2+3.1-2
= 5 -2 +3 -2 =8 -4 =4 . उत्तर
iii) x=-2
हल :- 5×3- 2×2+3x-2
x=-2हेतु
p (-2) = 5(-2 )3- 2(-2 )2+3(-2 )-2
= -40 -8 -6 -2 =-56 उत्तर
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प्र.2. निम्नलिखित प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(-1), p(2), p(3) का मान ज्ञात कीजिए-
i) p(x) = 4×3 + 2×2-3x+2
हल :- p(x) = 4×3 + 2×2-3x+2
∴ p(0)=4.0+2.0-3.0+2=2. उत्तर
p(-1)=4.(-1)3+2.(-1)2-3.(-1)+2
p(-1)=-4+2+3+2=-4+7=3. उत्तर
p(2)= 4(2)3 + 2(2)2-3(2)+2
p(2)=32+8-6+2=42-6=36. उत्तर
p(3)= 4(3)3 + 2(3)2-3(3)+2
p(3) =108+18+-9+2=128-9=119 उत्तर
ii) p(r)=(r-1)(r+1)
हल :-p(r)=(r-1)(r+1)
∴ p(0)=(0-1)(0+1)=-1. उत्तर
p(-1)=(-1-1)(-1+1)=0. उत्तर
p(2)=(2-1)(2+1)=1.3=3. उत्तर
p(3)=(3-1)(3+1)=2.4=8. उत्तर
iii) p(t)=23 t2-13t+13
हल : p(t)=23 t2-13t+13
∴ p(0)=23 (0)2-13(0)+13=13. उत्तर
p(-1)=23 (-1)2-13(-1)+13
p(-1)=23+13+13=43. उत्तर
p(2)=23 (2)2-13(2)+13
p(2)=83-23+13=8-2+13=73. उत्तर
p(3)= 23 (3)2-13(3)+13
p(3)=239-33+13=18-3+13=163. उत्तर
iv) p(y)=(y2-y+1)(y+1)
हल :- p(0)=(0-0+1)(0+1)=1. उत्तर p(-1)={(-1)2-1+1)}(-1+1)=0. उत्तर
p(2)={(2)2-2+1}(2+1)=(4-1).3=3.3=9. उत्तर
p(3)={(3)2-3+1}(3+1)=(9-3+1).4=74=28. उत्तर
iv) p(x)=x+2
हल :- p(x)=x+2
p(0)=0+2 = 2 उत्तर
p(-1)=-1+2=1. उत्तर
p(2)=2+2=4. उत्तर
p(3)=3+2=5. उत्तर
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प्र.3. पता कीजिए कि दिए गए बहुपदों के सामने लिखे मान क्या उनके शून्यक हैं?
i) p(x)=3x+1;x=-13
हल :- p(x)=3x+1;x=-13
p(x)=3x+1
∴ p(-13)=3(-13)+1=-1+1=0
अतः -13,p(x) का शून्यक है। उत्तर
ii) p(x)=x+2;x=-2
हल :- p(x)=x+2;x=-2
p(x)=x+2
p(x)=-2+2=0
अतः -2,p(x) का शून्यक है। उत्तर
iii) p(x)=5x-4;x=54
हल :- p(x)=5x-4;x=54
p(x)=5x-4
p(54)=554-4=254-4
p(54)=25-164=940
अतः 54,p(x) का शून्यक नहीं है। उत्तर
iv) p(y )=y2-1;y=1,-1
हल :- p(y )=y2-1;y=1,-1
p(y )=y2-1
p(1)=12-1=0
p(-1)=(-1)2-1=0
अतः 1,-1,p(x) का शून्यक है। उत्तर
v) p(t)=(t+1)(t-2);t=+1,-2
हल :- p(t)=(t+1)(t-2);t=+1,-2
p(t)=(t+1)(t-2)
p(+1)=(1+1)(1-2)=2(-1)=-20
p(-2)=(-2+1)(-2-2)=(-1)(-4)=40
अतः +1 और -2 दोनों ही p(t) के शून्यक नहीं है। उत्तर
vi) p(x)=lx+m;x=-ml
हल :- p(x)=lx+m;x=-ml
p(x)=lx+m
p(-ml)=l(-ml)+m=-m+m=0
अतः -ml,p(x) के शून्यक है। उत्तर
vii) p(r)=3r2-1;r=-13 ,13
हल :-p(r)=3r2-1;r=-13 ,13
p(r)=3r2-1
p(-13)=3(-13)2-1
=3.13-1=1-1=0
अतः -13,13p(x) के शून्यक है। उत्तर
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प्र.4 निम्नलिखित बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए–
i) p(x)=x+6
हल :- p(x)=x+6
x +6 =0 रखने पर ,x =-6
अतःp (x)में x =-6 रखने पर p (x)=0 प्राप्त होगा।
∴ -6 ,p (x )का शून्यक है। उत्तर
ii) p(x)=x-6
हल :- p(x)=x-6
x -6 =0 रखने पर ,x =6
अतःp (x)में x =6 रखने पर p (x)=0 प्राप्त होगा।
∴ 6 ,p (x )का शून्यक है। उत्तर
iii) p(y)=5y
हल :- p(y)=5y
अतःp (x)में y =0 रखने पर p (y )=0 प्राप्त होगा।
∴ 0 ,p (y )का शून्यक है। उत्तर
iv) p(t)=at,a0,a एक वास्तविक नियत संख्या है।
हल :- p(t)=at,a0,
∵ a0 अतः स्पष्ट है कि t =0 के लिए p(t )शून्य प्राप्त होगा।
∴ 0 ही p (t) का शून्यक है। उत्तर
v) p(r)=cr+d,c0,c,d वास्तविक नियत संख्याएं हैं।
हल :- cr +d =0 रखने पर ,
⇒ cr =-d
∴ r =-d c
स्पष्ट है कि p (r) में r =-d c रखने पर p (r )=0 प्राप्त होगा। अतः -d c ,p (r )का शून्यक है। उत्तर
vi) p(u)=3u-6
हल :- 3u-6=0 रखने पर ,
⇒ 3u =6
⇒ u =6 3 =2
∵ p (u) में u =2 रखने पर 0 प्राप्त होगा
∴ 2 ,p (u ) का शून्यक है। उत्तर
vii) r(s)=2s+3
हल :- 2s+3=0 रखने पर ,
⇒ 2s =-3
∴ s =-3 2
∵ s =-3 2 रखने पर r (s ) का मान 0 प्राप्त होगा
∴ -3 2 ,r (s ) का शून्यक है। उत्तर
viii) p(x)=5 -x
हल :- p(x)=5 -x
∵ x =5 रखने पर p (x )=0 प्राप्त होगा
∴5 ,p (x )का शून्यक है। उत्तर
ix) q(t)=12t-23
हल :- q(t)=12t-23
12t-23 = 0 रखने पर ,
⇒ 12t-23 ⇒t =4 3
∵ q (t )में t =4 3 रखने पर 0 प्राप्त होता है ,
∴ 4 3 ,q(t) का शून्यक है उत्तर
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प्र.1. निम्नलिखित बहुपदों को जोड़िए-
i) 2×2 +x+1 एवं 3×2 +4x+5
हल :-2×2 +x+1 एवं 3×2 +4x+5
2×2 +x+1
+ 3×2 +4x+5
(2+3)x2+(1+4)x+(1+5)
=5×2+5x+6. उत्तर
ii) 8p2 -3p+4 एवं 3p3 -4p+7
हल :-8p2 -3p+4 एवं 3p3 -4p+7
8p2 -3p+4
+ 3p3 -4p+7
3p3+8p2-(3+4)p+(4+7)
=3p3+8p2-7p+11. उत्तर
iii) -5×3 +9×2-5x+7 एवं -2 x 2 +7×3-3x-8
हल :- -5×3 +9×2-5x=7 एवं -2×2 +7×3-3x-8
-5×3 +9×2-5x+7
+ 7 x 3 -2×2-3x-8
(-5+7)x3+(9-2)x2-(5+3)x+(7-8)
=2×3+7×2-8x-1. उत्तर
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प्र.2. निम्नलिखित बहुपदों को जोड़िए। जोड़ से प्राप्त बहुपद की घात बताइए। 3y2 +2y-5 ;2 y 2 +5+ 8y तथा -y2 -y
हल :- सभी प्रश्नों में पदों को सर्वप्रथम घातों के अवरोही क्रम में लिखते है
3y2 +2y-5
2 y 2 +5+ 8y
- -y2 -y
(3+2-1)y2+(+2+8-1)y+0
=4y2+9y.
बहुपद की घात = 2. उत्तर
ii) 5+7r-3r2; r2+7 तथाr2-3r+5
हल :-5+7r-3r2; r2+7 तथाr2-3r+5
3r2+7r+5
r2 +7
- r2-3r+5
(-3+1+1)r2+(7-3)r+(5+7+5)
=-r2+4r+17.
बहुपद की घात =2. उत्तर
iii) 4x+7-3×2+5×3; 7×2-2x+1 तथा -2×3-2x
हल :- 4x+7-3×2+5×3; 7×2-2x+1 तथा -2×3-2x
5×3-3×2+4x+7
7×2-2x+1
- -2×3-2x
(5-2)x3+(-3+7)x2+(4-2-2)x+(7+1)
=3×3+4×2+8.
बहुपद की घात = 3. उत्तर
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प्र.3. घटाइए-
i) 7t3 -3t2+2 में से t2- 5t+2
हल :- घटाने की प्रक्रिया में नीचे के बहुपद के चिन्ह बदल जाते है।
7t3 -3t2+2
t2- 5t+2
– + –
7t3-4t2+5t. उत्तर
ii) 2p2 -5+11p-p3 में से 3p-5p2+7+3p3
हल :- 2p2 -5+11p-p3 में से 3p-5p2+7+3p3
-p3+2p2+11p-5
3p3-5p2+3p+7
– + – –
(-1-3)p3+(2+5)p2+(11-3)p+(-5-7)
=-4p3+7p2+8p-12. उत्तर
iii) -3z2+11z+12z3+13 में से 5z3+ 7z2+2z-4
हल :- -3z2+11z+12z3+13 में से 5z3+ 7z2+2z-4
12z3+3z2+11z+13
5z3+ 7z2+2z-4
– – – +
(12-5)z3+(-3-7)z2+(11-2)z+(13+4)
=7z3-10z2+9z+17.
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4. x4 +3×3+2x+6 और x4 -3×2+6x+2 के योगफल में से x3- 3x+4 को घटाइए |
हल :- माना , p(x)=x4 +3×3+2x+6
q(x)=x4 -3×2+6x+2
r(x) = x3- 3x+4
∴ p(x)+q(x)= x4 +3×3+2x+6
+ x4 -3×2+6x+2
2×4+3×3-3×2+8x+8
अब p(x)+q(x)-r (x )=
2×4+3×3-3×2+8x+8
x3 – 3x+4
– + –
2×4+2×3-3×3+11x+4. उत्तर
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5.यदि p(u)=u7-u5 +2u2+1 और q (u )=-u7+u-2 हो तो p(u)+q(u) की घात बताइए|
हल :- दिया है , p(u)= u7-u5 +2u2+1
q (u )=-u7+ u-2
∴ p(u)+q(u)=-u5+2u2+u-1
अतः p(u)+q(u) की घात =5. उत्तर
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6. x3 -3×2+6 में क्या जोड़ें की योगफल x2-x+4 प्राप्त हों |
हल :- माना कि x3 -3×2+6 में p (x ) जोड़ने पर योगफल x2-x+4 प्राप्त होता है।
(x3-3×2+6)+p(x)=x2-x+4
= p(x) =(x2-x+4)-(x3-3×2+6)
=x2-x+4-x3+3×2-6=-x3+x2+3×2-x+4-6
=-x3+4×2-x-2. उत्तर
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7. u7 -3u6+4u2+2 में क्या जोड़ें की योगफल u6-u-4 प्राप्त हों |
हल :- माना कि u7 -3u6+4u2+2 मेंp (u ) जोड़ने पर u6-u-4 प्राप्त होता है।
u7-3u6+4u2+2+p(u)=u6-u-4
⇒ p(u)=u6-u-4-(u7-3u6+4u2+2)
=u6-u-4-u7+3u6-4u2-2
=-u7+u6+3u6-4u2-u-4-2
=-u7+4u6-4u2-u-6. उत्तर.
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8. y3 -3y2+y+2 में क्या घटाएं कि अंतर y3+2y+1 प्राप्त हों |
हल :- माना कि y3 -3y2+y+2 में p (y) घटाने पर y3+2y+1 प्राप्त होता है
y3 -3y2+y+2-p(y)= y3+2y+1
⇒p(y)= y3 -3y2+y+2-( y3+2y+1)
=y3 -3y2+y+2- y3-2y-1=-3y2-y+1. उत्तर.
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9. t2+t-7 में क्या घटाएं कि अंतर t3 +t2+3t+4 प्राप्त हों |
हल :- माना कि t2+t-7में p (t) घटाने पर t3 +t2+3t+4 प्राप्त होता है
t2+t-7-p(t)=t3 +t2+3t+4
⇒ p(t)= t2+t-7-(t3 +t2+3t+4)
= t2+t-7- t3 -t2-3t-4=-t3-2t-11. उत्तर.
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10. निम्नलिखित का गुणा कीजिए-
i) 3x+4 का 7×2 +2x+1 से
हल :- (3x+4)(7×2+2x+1)
=3x.7×2+3x.2x+3x.1+4.7×2+4.2 x+4.1
=21×3+6×2+3x+28×2+8x+4
=21×3+6×2+28×2+3x+8x+4
= 21×3+6×2+28×2+11x+4. उत्तर
ii) 5×3 +2x का 3×2 -9x+6 से
हल :- (5×3+2x)(3×2-9x+6)
= 5×3.3×2-5×3.9x+5×3.6+2x.3×2+2x.(-9x)+2x.6
= 15×5-45×4+30×3+6×3-18×2+12x
= 15×5-45×4+36×3-18×2+12x. उत्तर
iii) p4 -5p2+3 का p3 +1 से
हल :- (p4 -5p2+3)(p3 +1)
= p4.p3+p4.1-5p2.p3-5p2.1+3.p3+3.1
=p7+p4-5p5-5p2+3p3+3
=p7-5p5+p4+3p3-5p2+3. उत्तर
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11. यदि p(x)=x3+7x+3 तथा q(x)=2×3-3 हो तो p(x)q(x) का मान ज्ञात
कीजिए।
हल :- दिया है ,p(x)=x3+7x+3
q(x)=2×3-3
∴ p(x)q(x)=(x3+7x+3).(2×3-3)
=x3.2×3-3.×3+7x.2×3-7x.3+3.2×3-3.3
=2×6-3×3+14×4-21x+6×3-9
=2×6+14×4+3×3-21x-9. उत्तर
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12.यदि p(u)=u2+3u+4, q(u)=u2+u-12 तथा r(u)=u-2 हो तब p(u)q(u)r(u)की घात बताइए।
हल :- दिया है, p(u)=u2+3u+4
q(u)=u2+u-12
r(u)=u-2
∴ p(u).q(u)=(u2+3u+4).(u2+u-12)
=u4+u3-12u2+3u3+3u2-36u+4u2+4u=48
=u4+4u3-5u2-32u-48
अब , p(u).q((u),r(u)=(u4+4u3-5u2-32u-48).(u-2)
= u4 .u-u4.2+4u3.u-4u3.2-5u2.u+5u2.2-32u.u+32u.2-48u+96
=u5-2u4+4u4-8u3-5u3+10u2-32u2+64u-48u+96
=u5+2u4-13u3-22u2+16u+96
p(u)q(u)r(u)की घात = 5. उत्तर